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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Inverse von Matrizen
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Inverse von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 So 13.11.2005
Autor: trixi86

hallo ihr!  
ich hab da eine Aufgabe die ich lösen soll aber leider keine Ahnung wie ich das problem angehen soll. Wär lieb wenn mir jemand helfen könnt. Die Aufgabe lautet wie folgt:

sei A =  [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] eine 2 x 2 Matrix über  [mm] \IR [/mm]

für welche a, b, c, d E  [mm] \IR [/mm] ist A invertierbar?
Wie sieht in diesem Fall die Inverse aus?

wie gesagt ich leider keine ahnung wie man das im allgemeinen löst. ich bin über jede hilfe dankbar!

gruß trixi

        
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Inverse von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 So 13.11.2005
Autor: Kohei

Hi!

Die gleiche Aufgabe fliegt hier öfter rum.
Eine Matrix kann invertiert werden, indem
man sie aud red. Zeilenstufenform bringt.
Die Rechenoperationen die hierzu nötig sind
werden auf die Einheitsmatrix angewendet
die somit zur inversen wird.

Man schreibt es so [A | I].

Die ersten zwie Schritte könnten so aussehen:

[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm]

Du kannst jetzt z.B. Die erste Zeile mal -c und die zweite
mal a nehmen und addierst beide Zeiden. Das gleiche
musst du dann noch mit I machen.

[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & ad-bc } \pmat{ 1 & 0 \\ -c & a} [/mm]

[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & 1} \pmat{ 1 & 0 \\ \bruch{-c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc}} [/mm]

mfg
Kohei

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Inverse von Matrizen: Nicht nur Zahlen in der Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 So 13.11.2005
Autor: nadine19

Hallo!

Mir ist klar wie man die Inverse irgendeiner Matrix berechnet sofern diese aus Zahlen besteht. Was mir nicht klar ist, ist wie man mit einer Matrix zu verfahren hat die so ausschaut:

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ a & b & c & d \\} [/mm]

vielen dank für eure Hinweise!

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Inverse von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 So 13.11.2005
Autor: DaMenge

Hi Nadine,

der Ansatz wurde doch schon genannt : du musst eben die Variablen als solche stehen lassen und mit den Buchstaben so rechnen, als wäre sie Zahlen..

Also , einheitsmatrix daneben schreiben :
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ a & b & c & d \\} \HUGE [/mm] {|} [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\} [/mm] $

nach drei Schritten hat man schon :
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \\} \HUGE [/mm] {|} [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -a & -b & -c & 1 \\} [/mm] $

und dann noch :
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\} \HUGE [/mm] {|} [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -a/d & -b/d & -c/d & 1/d \\} [/mm] $

da hast du dann links deine Inverse stehen
(natürlich weiterhin abhängig von den Variablen ! und d darf nie 0 sein ..)

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                                
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Inverse von Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 So 13.11.2005
Autor: nadine19

danke, mein verständnis problem hatte wohl damit zu tun, dass meine kenntnisse der schularithmetik und -algebra schon sehr verstaubt sind. und ich daher einfach nicht auf die idee kam die erste zeile mit [mm] \bruch{-a}{1} [/mm] etc. zu multiplizieren um in der letzten die unbekannten variablen "wegzubekommen". vielen lieben dank!

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Inverse von Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 So 13.11.2005
Autor: trixi86

also ich hab mir jetzt nochmal gedanken zu der aufgabe gemacht und bin zu dem entschluss gekomme, dass ich diese aufgabe mit hilfe der determinante llösen könnte

A ist doch invertierbar,wenn det(A)  [mm] \not= [/mm] 0

die determinante von A lässt sich doch so berechnen:

Det(A) = ad - bc           oder??

und daraus folgt ja dann für ad - bc  [mm] \not= [/mm] 0  besitzt A eine inverse. allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich weiter machen soll.denn für welche a, b, c, d  A invertierbar ist weiß ich ja immer nochnicht und wei die Inverse aussieht erst recht nicht!

Bezug
                        
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Inverse von Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 So 13.11.2005
Autor: DaMenge

Hi,

> A ist doch invertierbar,wenn det(A)  [mm]\not=[/mm] 0
>  
> die determinante von A lässt sich doch so berechnen:
>  
> Det(A) = ad - bc           oder??
>  
> und daraus folgt ja dann für ad - bc  [mm]\not=[/mm] 0  besitzt A
> eine inverse. allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich
> weiter machen soll.denn für welche a, b, c, d  A
> invertierbar ist weiß ich ja immer nochnicht


du hast es doch schon geschrieben :
A ist invertierbar, wenn $ad [mm] \not= [/mm] bc$ gilt.
(Damit hast du doch eine charackterisierung für a,b,c,d und A)


> und wei die Inverse aussieht erst recht nicht!

Dazu müsstest du mal den Ansatz oben zu Ende rechnen, dann sieht man, dass :

[mm] $\pmat{a&b\\c&d}^{-1}=\bruch{1}{ad-bc}*\pmat{d&-b\\-c&a}$ [/mm] ist
(Jetzt sieht man auch, warum die Determinant = Nenner ungleich 0 sein muss)

viele Grüße
DaMenge


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