Inversion am Kreis < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei der Kreis [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 16
berechne die Bilder
a) der Geraden x = 7(mit drei Strichen, ich weiß nicht was das heißt)
b) der Geraden 4x-2
c) des Kreises [mm] (x-4)^2 [/mm] + [mm] (y-3)^2 [/mm] = 9
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Inversion-am-Kreis
Wie löst man solche Aufgaben?
Ich würde es mit Tipp und Lösung zur Kontrolle selber versuchen zu rechnen! 
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Lies meinen Tipp zu deiner anderen Kreisfrage. Dort erfährst du, dass beim Invertieren am Kreis Geraden in Kreise durch den Mittelpunkt des Abbildungskreises übergehen, Kreise, die nicht durch diesen Mittelpunkt gehen in (andere) Kreise, die ebenfalls nicht durch diesen Mittelpunkt gehen.
Zunächst:
Das dreifache Gleichheitszeichen heißt "identisch", gibt aber bei dieser Aufgabe nicht unbedingt Sinn, müsste allerdings viel häufiger angewandt werden.
Beispiel: [mm] f(x)=x^2+6 [/mm] kann heißen: Die Funktion f(x) ist identisch mit [mm] x^2+6, [/mm] dieses ist also ihr Funktionsterm. Es kann aber (in einem anderen Zusammenhang) heißen: Für welche x ist f(x) das selbe wie [mm]x^2+6[/mm], wobei dann aber f(x) auch 2x +6 oder sonst was sein könnte.
Nun zu deinem Problem: Wenn du nun weißt, dass eine Gerade auf einen Kreis abgebildet wird, der durch den Mittelpunkt des Abbildungskreises geht (hier der Ursprung), brauchst du doch nur noch maximal 2 weitere Punkte daran zu spiegeln. Aus 3 Punkten auf dem Bildkreis lässt sich dieser doch eindeutig konstruieren.
a) Der Abbildungskreis hat den Mittelpunkt im Ursprung und den Radius 4. Die Gerade [mm] x\equiv [/mm] 7 ist parallel zur y-Achse im Abstand 7 zum Ursprung. Betrachte den kürzesten Punkt P(7|0) zum Mittelpunkt. Sein Bildpunkt P' liegt auf der Geraden OP mit der Bedingung |OP'|*|OP|=4*4 oder |OP'|*7= 16 und damit |OP'|=16/7, woraus P'(16/7|0) folgt.
Alle anderen Punkte auf der Geraden sind weiter weg vom Ursprung, ihre Bilder somit näher am Ursprung. Damit wissen wir:
Die Abbildung der Geraden ist ein Kreis durch den Ursprung, dessen weiteste entfernter Punkt P'(16/7|0) ist, somit ein Kreis mit Mittelpunkt (8/7|0) und Radius 8/7.
Ähnliche Gedanken brauchst du bei der Lösung von b) und c).
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> Sein Bildpunkt P' liegt auf der
> Geraden OP mit der Bedingung |OP'|*|OP|=4*4 oder |OP'|*7= 16
Wie bist du auf die Bedingung gekommen?
(Wie du dann auf das Bild und den Mittelpunkt des Kreises gekommen bist, habe ich verstanden.)
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Ich hab mir jetzt mal Aufgabe 1b) angesehen und komm mit deinen Tipps darauf, dass das Bild ein Kreis mit dem Mittelpunkt (16 | 0) und dem Radius 16 ist. Mein P' liegt hier bei (32 | 0).
Aber wie funktoniert das jetzt mit dem Kreis bei 1c)?
Ich hab mir meinen Inversionkreis gezeichnet und dann einen weiteren Kreis mit Mittelpunkt bei (4 | 3) und Radius 3. (Haut das hin?).
Wie finde ich hier das Bild?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich hab mir jetzt mal Aufgabe 1b) angesehen und komm mit
> deinen Tipps darauf, dass das Bild ein Kreis mit dem
> Mittelpunkt (16 | 0) und dem Radius 16 ist. Mein P' liegt
> hier bei (32 | 0).
Der MP stimmt ganz sicher nicht. Die Punkte auf dem Rand des Abbildungskreises sind Fixpunkte, der MP des Bildkreises muß daher auf der Geraden y = -(1/4)x liegen.
> Aber wie funktoniert das jetzt mit dem Kreis bei 1c)?
>
> Ich hab mir meinen Inversionkreis gezeichnet und dann einen
> weiteren Kreis mit Mittelpunkt bei (4 | 3) und Radius 3.
> (Haut das hin?).
Soweit ja, und das Bild ist ein Kreis, von dem du 2 Punkte - nämlich die beiden Fixpunkte - hast. Ein Tip noch: Die Inversion ist winkeltreu, und die x-Achse ist eine Tangente an den abzubildenden Kreis.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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zu Aufgabe 1b)
> Der MP stimmt ganz sicher nicht.
Aber mein P' passt schonmal? Wie finde ich dann jetzt den Mittelpunkt des Kreises? Oder andere Punkte? (Ich hab das jetzt für P' wie oben gemacht, dass ich einen Punkt auf der x-achse genommen habe.)
und zu 1c)
Das mit den beiden Fixpunkten verstehe ich. Aber dein Tipp hilft mir leider nicht weiter :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> zu Aufgabe 1b)
> > Der MP stimmt ganz sicher nicht.
>
> Aber mein P' passt schonmal? Wie finde ich dann jetzt den
> Mittelpunkt des Kreises? Oder andere Punkte? (Ich hab das
> jetzt für P' wie oben gemacht, dass ich einen Punkt auf der
> x-achse genommen habe.)
Zeichnerisch bist du jetzt fertig, denn du hast 3 Punkte. Rechnerisch könntest du z. B. die beiden Fixpunkte berechnen und dann den Kreis durch diese 3 Punkte legen.
> und zu 1c)
>
> Das mit den beiden Fixpunkten verstehe ich. Aber dein Tipp
> hilft mir leider nicht weiter :-(
Nun, die x-Achse ist auch Tangente an den Bildkreis. Der Winkel zwischen Tangente und Kreislinie ist sozusagen 0°.
Gruß
Dieter
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Wie berechne ich die Fixpunkte? Einer ist ja rein zeichnerisch so günstig, dass man ihn ablesen könnte. Aber darf ich nicht, will ich auch nicht.
Wie rechnet man sowas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
> Wie berechne ich die Fixpunkte? Einer ist ja rein
> zeichnerisch so günstig, dass man ihn ablesen könnte. Aber
> darf ich nicht, will ich auch nicht.
> Wie rechnet man sowas?
Das sind die Schnittpunkte der Geraden y = 4x - 2 mit dem Kreis [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 16, also gleichsetzen!
Oder bist du bei c)? Da mußt du die Schnittpunkte der beiden Kreise bestimmen.
ciao
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zu 1b)
Ich hab jetzt die Schnittpunkte von der Geraden mit dem Kreis ausgerechnet, aber irgenwo stimmt was nicht:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] (4x-2)^2 [/mm] = 16
[mm] \gdw x^2 +16x^2 [/mm] -16x +4 = 16
[mm] \gdw 17x^2 [/mm] -16x -12 = 0
(p-q-Formel)
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{16}{17} [/mm] +/- [mm] \wurzel{(-\bruch{16}{17})^2 + (\bruch{12}{17})}
[/mm]
[mm] x_{1,2}= [/mm] 2,2028... und -0,32044....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
> zu 1b)
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> Ich hab jetzt die Schnittpunkte von der Geraden mit dem
> Kreis ausgerechnet, aber irgenwo stimmt was nicht:
Allerdings!
> [mm]x^2[/mm] + [mm](4x-2)^2[/mm] = 16
> [mm]\gdw x^2 +16x^2[/mm] -16x +4 = 16
> [mm]\gdw 17x^2[/mm] -16x -12 = 0
> (p-q-Formel)
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{16}{17}[/mm] +/- [mm]\wurzel{(-\bruch{16}{17})^2 + (\bruch{12}{17})}[/mm]
[mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{8}{17}[/mm] +/- [mm]\wurzel{(-\bruch{8}{17})^2 + (\bruch{12}{17})}[/mm]
> [mm]x_{1,2}=[/mm] 2,2028... und -0,32044....
[mm]x_{1,2}=[/mm] 1,4336... und -0,4924....
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*autsch*, ja hätte ich selber sehen müssen. Aber ich bin seit heute früh um 7 mit Mathe beschäftigt und mein Kopf raucht schon. 
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Nagut, also ich habe jetzt auch
[mm] x_{1} [/mm] = 1,4336 und
[mm] x_{2} [/mm] = -0,4924
beide in die Geradengleichung eingesetzt und
[mm] y_{1} [/mm] = 3,734 und
[mm] y_{2} [/mm] = -3,97 erhalten.
Somit habe ich zwei neue Punkte:
R'= (1,4336 | 3,734)
S'= (-0,4924 | -3,97).
Was ich mir eben noch überlegt habe, aber nicht sicher weiß:
Ist T'= (0 | -8) nicht auch ein Bildpunkt? Ich hab dafür den Punkt (0 | -2) der Geraden genommen, dann in die Bedingung
|MT'| * |MT| = [mm] r^2 [/mm] eingesetzt:
|MT'| * -2 =16, also |MT'| = -8 und damit T' =(0 | -8).
Dann hätte ich nur noch einen ungenauen Punkt um den Bildkreis zu berechnen, oder?
Aber wie funktioniert das, einen Kreis aus drei Punkten zu berechnen??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Martina!
> Nagut, also ich habe jetzt auch
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 1,4336 und
> [mm]x_{2}[/mm] = -0,4924
>
> beide in die Geradengleichung eingesetzt und
>
> [mm]y_{1}[/mm] = 3,734 und
> [mm]y_{2}[/mm] = -3,97 erhalten.
>
> Somit habe ich zwei neue Punkte:
>
> R'= (1,4336 | 3,734)
> S'= (-0,4924 | -3,97).
>
>
> Was ich mir eben noch überlegt habe, aber nicht sicher
> weiß:
>
> Ist T'= (0 | -8) nicht auch ein Bildpunkt? Ich hab dafür
> den Punkt (0 | -2) der Geraden genommen, dann in die
> Bedingung
> |MT'| * |MT| = [mm]r^2[/mm] eingesetzt:
> |MT'| * -2 =16, also |MT'| = -8 und damit T' =(0 | -8).
Der Gedankengang ist richtig, aber falsch hingeschrieben, weil eine Länge immer positiv sein muß.
> Dann hätte ich nur noch einen ungenauen Punkt um den
> Bildkreis zu berechnen, oder?
>
> Aber wie funktioniert das, einen Kreis aus drei Punkten zu
> berechnen??
Das funktioniert z. B., indem du die allgemeine Kreisgleichung mit ihren 3 Unbekannten nimmst und die 3 Punkte einsetzt. Das gibt 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und sollte zu lösen sein.
Hier geht es auch anders: Du nimmst die Gerade y = (-1/4)x als 1. Ortslinie und die Mittelsenkrechte auf der Strecke von (0|-8) bis (32|0) als 2. Ortslinie. Der Schnittpunkt isses dann!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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So, dann versuch ich das mal..
Ich nehm die Bildpunkte:
Q' = (32 | 0)
R' = (0 | -8)
T' = (3,2 | 6,4)
Die ich übrigens alle mit folgender Formel ausrechnen konnte:
f [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \bruch{r^2}{x^2 + y^2} [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x' \\ y'}
[/mm]
ausrechnen konnte
Also, allgemeine Kreisformel ist ja
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 =r^2, [/mm] wenn ich den Mittelpunkt in (0 | 0 ) habe. Aber mein Bildkreis hat den MP ja woanders (Hab das ganze Ding in Dynageo konstruiert, da liegt er bei (15,63 | -3,92) --> siehe Anhang))
Also nehm ich die allgemeine Formel:
(x - [mm] x_{m})^2 [/mm] + (y - [mm] y_{m})^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Jetzt würde ich die Punkte so einsetzen:
I. (32 - [mm] x_{m})^2 [/mm] + (0 - [mm] y_{m}) [/mm] ^2 = [mm] r^2
[/mm]
II: (0 - [mm] x_{m})^2 [/mm] + (-8 - [mm] y_{m}) [/mm] ^2 = [mm] r^2
[/mm]
III: (3,2 - [mm] x_{m})^2 [/mm] + (6,4 - [mm] y_{m}) [/mm] ^2 = [mm] r^2
[/mm]
Und ab hier trau ich meinen Gleichungen schon nicht, weil das ein bisschen zu verschroben aussieht, dafür dass es für die Aufgabe nur einen von 22 Punkten gibt
Nee, im Ernst, ich bekomm das leider nicht alleine auf die Reihe. Ich hab das noch nie gemacht und begreife sowas leider erst, wenn man mir mal gezeigt hat wie es geht...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 So 06.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Aufgabe 1c)
Hier die Schnittpunkte der beiden Kreise:
S1=(4 | 0)
S2=(1,12 | 3,84)
Jetzt hab ich zwei Bildpunkte. Einen dritten kann ich ja mit dem Mittelpunkt des zweiten Kreises (4 | 3) berechnen, aber wie?
Und ich weiß immer noch nicht, wie man mit drei Punkten auf einen Kreis kommt :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi Martina!
> Aufgabe 1c)
> Hier die Schnittpunkte der beiden Kreise:
>
> S1=(4 | 0)
> S2=(1,12 | 3,84)
Das wird wohl stimmen ...
> Jetzt hab ich zwei Bildpunkte. Einen dritten kann ich ja
> mit dem Mittelpunkt des zweiten Kreises (4 | 3) berechnen,
> aber wie?
Ja wirklich? Mit dem MP?
> Und ich weiß immer noch nicht, wie man mit drei Punkten auf
> einen Kreis kommt :-(
Da du auf meinen Vorschlag mit der Tangente partout nicht eingehst, kommt jetzt ein anderer Ansatz. Berechne die Schnittpunkte des abzubildenden Kreises mit der Geraden y = x. Die x-Werte seien [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}. [/mm] Der Abstand dieser Punkte vom Nullpunkt ist dann [mm] \wurzel{2x_{i}^{2}}. [/mm] Das Produkt der beiden Abstände ist [mm] 2x_{1}x_{2}. [/mm] Rechne es mal aus und wunder dich.
Gruß
Dieter
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Wer ist Martina?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Oh Mannomann, wenn du es nicht bist, weiß ich es auch nicht mehr. Das kommt, wenn man an allen Fronten gleichzeitig kämpft.
Ich bitte in aller Form um Entschuldigung, bleib mir trotzdem gewogen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 06.01.2008 | | Autor: | elke22 |
| Aufgabe | | Der MP stimmt ganz sicher nicht. Die Punkte auf dem Rand des Abbildungskreises sind Fixpunkte, der MP des Bildkreises muß daher auf der Geraden y = -(1/4)x liegen. |
wie kommst du auf y = -(1/4)x ...
bin grad etwas schwerfällig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
> > Sein Bildpunkt P' liegt auf der
> > Geraden OP mit der Bedingung |OP'|*|OP|=4*4 oder |OP'|*7=
> 16
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> Wie bist du auf die Bedingung gekommen?
So ist das bei der Inversion am Kreis; wie ist sie denn bei euch definiert?
Dieter
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Ist bei uns auch so definiert, aber das hab ich übersehen. Ich sollte ordentlichere Skripte anfertigen O
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