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Hallo,
gleich nochmal eine Frage:
Ich habe folgende Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-1 & 3 & 2 \\
1 & -1 & 4
\end{pmatrix} [/mm]
Die Matrix ist nicht invertierbar.
Woran kann man das allgemein, nur durch anschauen einer Matrix erkennen??
Dann hab ich noch den Vektor b= [mm] \vektor{2 \\ 3\\7}
[/mm]
Es gilt die allgemeine Beziehung: Ax=b
Nun kann ich ja aber nicht mit der Inversen auf die Lösung kommen
x=A^-1b gilt also nicht
Wie kann ich dann auf die Lösung kommen?
Schonmal vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße
Franz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Do 03.08.2006 | | Autor: | Barncle |
Also erstmal zur Invertierbarkeit: eine Matrix ist invertierbar, wenn sie regulär ist, d.h.: wenn ihre ![[]](/images/popup.gif) Determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Nun zu deinem Gleichungssystem. Also erstmal musst du schaun, ob der Rang deines Gleichungssystems Ax=b (die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b)) gleich dem Rang deiner Matrix A ist. dann nur dann ist dein gelcihungssystem überhaupt lösbar!
Wenn das zutrifft, musst du nun durch Zeilenumformungen versuchen deine erweiterte Koeffizientenmatrix auf möglichst einfache Form zu bringen.
Jetzt gibts es 2 Möglichkeiten:
1) Rang (A|b) ist voll >> es gibt eine eindeutige Lösung
2) Rang (A|b) ist nicht voll >> es gibt eine Lösungsschar
ja.. wenn Fall 1 auftritt gibts es eh nur eine Lösung also passt alles und im Fall 2 kannst du Parameter frei wählen, wieviele du wählen kommst kommt darauf an. In deinem Fall ist der volle Rang der Matrix A 3. Sollte er nun 2 sein, dann kannst du einen Parameter wählen, ist er 1, dann 2! MAn kann also immer: voller Rang - tatsächlicher Rang Parameter frei wählen!
Hoff jett schaffst dus! :)
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Danke für deine Antwort!
Mal schauen, ob ich das richtig verstanden hab...
Also ich schau erstmal nach dem Rang meiner Matrix. D.h. ich schau ob ich durch Umformen auf eine Nullzeile kommen könnte und somit weniger Zeilen hätte. Geht in diesem Fall aber nicht, d.h. (wie du ja schon geschrieben hast) die Matrix hat 3 Ränge (also die maximal mögliche Anzahl)
Schreibe ich nun (A|b) kann ich wieder schauen ob eine Umformung auf eine Nullzeile möglich ist. In diesem Fall wieder nicht.
Wenn nun aber nach (A|b) mein Rang nicht voll wäre, so wäre meine Matrix auch nicht invertierbar, richtig?
Oder kann ich dann durch diese Parameterwahl doch noch eine invertierbare Matrix erhalten? Aber das wird ja dann schon wieder zu kompliziert, das seh ich ja nicht auf einen Blick, oder?
Viele Grüße
Franz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 03.08.2006 | | Autor: | Barncle |
Richtig, wenn der Rang nicht voll ist, dann ist die Matrix nicht invertierbar, wenn dann ist die determinante 0!
Aber es ergibt nicht wircklich Sinn, für die Lösung deines Problems (A|b) zu invertieren!
Die Parameterwahl hat nichts mi der Invertierbarkeit zu tun! Das musst du nur machen, wenn du das Gleichungssystem dann löst (aber ohne die Methode mit der invertierten MAtrix!)
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Ok, soweit versteh ich das mit dem Rang einer Matrix nun.
Was ich nicht versteh, der Rang meiner Matrix im Beispiel ist doch voll, d.h. die Matrix müsste invertierbar sein.
In der Aufgabenstellung steht aber, sie sei nicht invertierbar... ???
Zur Gleichung:
Angenommen die Matrix ist nicht invertierbar, dann lässt sich mein Gleichungssystem Ax=b
nicht mit x=bA^(-1) lösen
Also kann ich einfach A=b rechnen? (A|b)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Do 03.08.2006 | | Autor: | Barncle |
Also.. der Rang deiner MAtrix ist nicht voll!
Rechne mal die erste Zeile zur Zweiten dazu und zieh die erste von der dritten ab! dann siehst es gleich!
(A|b) heißt nicht A=b (das macht ja auch garkeinen Sinn!) sonder ist die erweiterte Koeffizientenmatrix! IN deinem Fall:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & 2 \\
-1 & 3 & 2 & 3 \\
1 & -1 & 4 & 7
\end{pmatrix} [/mm]
du pickst also sozusagen denn Vektor b noch hinten an die Matrix A dran!
Zur lösbarkeit, gelten jetzt wieder die vorigen Kriterien!
Deine Gleichung lauett ja Ax=b! Das heißt die MAtrix A wird mit dem Vekor x multipliziert und es kommt der Vektro b heraus!
Laut Matrixmultiplikation kannst du also die erse Spalte der MAtrix A als [mm] x_1 [/mm] (oberste variable des Vektors x) die zweite als [mm] x_2 [/mm] und die dritte Spalte als [mm] x_3 [/mm] identifizieren!
Wenn du jetzt wieder die AMtrix (A|b) anschaust, kannst du im Falle, dass deine AMtrix vollen RAng hat, sie so lange vereinfachen, bis in einer Zeile nurmehr [mm] x_3 [/mm] und eine dazugehörige Zahl des Vektors b steht!
Und dass ist dann deine erste Lösung mit der du die darüberliegenden Gleichungen auflösen kannst! Du stellst die deine MAtrix A|b also einfach als drei übereinandergeschriebene gleichungen vor!
Gut udn in deinem FAll ist nun der Rang nicht voll.. das heißt du kannst eine Nullzeile erzeugen und dann eines deiner x frei wählen, etwa [mm] x_3 [/mm] = t und die dann die beiden anderen Gleichungen in abhängigkeit von dem t ausdrücken! ;)
Hoff es hat geholfen frag nur ruig weiter bin noch länger online!
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Also, erstmal vielen Dank, dass du dir soviel Zeit nimmst, mir das ganze zu erklären! :)
Nachdem ich mich bestimmt zigmal verrechnet hab, bin ich nun endlich auch darauf gekommen, dass die Matrix eine Nullzeile enthält.
Das mit der Koeffizientenmatrix hab ich nun auch endlich verstanden.
Und bin ebenfalls auf die Nullzeile gekommen :)
So.. nun wähle ich also [mm] x_3=t
[/mm]
Und ich hab zum Schluss die Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 3 & 5
\end{pmatrix} [/mm]
Und du sagst, die 1. Zeile entspricht [mm] x_1 [/mm] und die 2. Zeile [mm] x_2
[/mm]
Wie stell ich nun die beiden Gleichungen in Abhängigkeit von [mm] x_3 [/mm] dar?
Also
[mm] 1-2+1+2=x_1
[/mm]
[mm] 1+3+5=x_2 [/mm] ??
Wie ich da auf die beiden Gleichungen kommen soll bzw. wie ich die darstellen soll, versteh ich nicht so ganz..
Also wenn ich das auch noch verstanden hab, dann müsste ich so langsam alles verstanden haben ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Do 03.08.2006 | | Autor: | Barncle |
Ups.. ich hab da mich leider vertan! Sollte Spalte und nciht Zeile heißen!
Also die erste Spalte der MAtrix ist [mm] x_1 [/mm] usw.... Sry!
wenn du jetzt wie du sagst [mm] x_3 [/mm] =t nimmst
dann hast du jetzt eben 2 gleichungen:
[mm] x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + t = 2
[mm] x_2 [/mm] +3t = 5
wie du siehst hab ich im Prinzip einfach die MAtrix genommen und Zeichen dazwischen eingefügt! daher stehts auch so schön untereinander!
Mir ist nurnoch wichti, dass du verstehst, warum du die Spalten mit den [mm] x_i [/mm] identifizieren kannst!
Also wenn du wie bei Ax = b eine Matrix mit einem Vektor multiplizierst, dann machst du das nach dem Schema: Zeile mal Spalt! (übrigens auch wenn du zwei Matrizen multiplizierst)
Also so:
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } \pmat{ x_1 \\ x_2 } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 }
[/mm]
hoffe du verstehst das jetzt acuh! :)
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:)
Super! Jetzt müsste ich wirklich alles verstanden haben!
Danke!
Das Einmultiplizieren von dem Vektor x in die Matrix verstehe ich.
Mit den Spalten ist das dann auch logisch!
Allerdings kann ich in dem Fall [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auch nur in Abhängigkeit des Parameters t darstellen. Ich finde das sieht dann immer so unschön aus, aber wenns nicht anders geht, solls mich auch nicht weiter stören ;)
Hab jetzt einiges dazu gelernt! Nochmal vielen vielen Dank! :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Do 03.08.2006 | | Autor: | Barncle |
ja.... so schön ist es nciht, aber ist halt eine Lösungsscharr! ;)
Freut mich dir geholfen zu haben! :)
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