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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Invertierbare Matrizen
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Invertierbare Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Do 02.11.2006
Autor: Informacao

Aufgabe
Behauptung: Alle reellen 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrizen X mit X [mm] \not= [/mm] 0 sind invertierbar.  

Hallo,

also ich bin mir gerade nicht mehr sicher, ob die behauptung stimmt, weil damit eine Matrix A invertierbar ist, braucht man immer eine Matrix B, oder?
Aber was mich stutzig macht, ist dass es sich ja oben um eine quadratische Matrix handelt..also das ist ja vorraussetzung..

aber stimmt jetzt die behauptung?

viele grüße
informacao

        
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Invertierbare Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Do 02.11.2006
Autor: galileo

Hallo Informacao

Die notwendige und hinreichende Bedingung dass eine Matrix X invertierbar ist, ist, dass ihre Determinante nicht null ist:

[mm]\det X \neq 0[/mm]

Die Behauptung stimmt nicht.

Schöne Grüße, :-)
galileo

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Invertierbare Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Do 02.11.2006
Autor: Informacao

achsooo..danke das hab ich verstanden :-)

kannst du mal schauen, ob das hier stimmt:

A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in M_{2,2}(\IR), [/mm] dann ist [mm] A^{-1}= \pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm]


Ich glaube, das stimmt nicht..weil das d und das a vertauscht sind, oder??
informacao

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Invertierbare Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Do 02.11.2006
Autor: galileo

Du musst noch alle Elemente durch

[mm]\det A=ad-bc[/mm]

teilen:

[mm] A^{-1}= \begin{pmatrix} \bruch{d}{ad-bc} & -\bruch{b}{ad-bc} \\ -\bruch{c}{ad-bc} & \bruch{a}{ad-bc} \end{pmatrix} = \bruch{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} [/mm]

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Invertierbare Matrizen: Rückfrage?!?!?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Do 02.11.2006
Autor: drPC

hmmm - also wenn ich mir das nochmal so überlege würde ich behaupten, dass die Behauptung stimmen müsste. Denn die Bedingungen für die Existenz einer Inversen sind ja:
1. das quadtariche Format und 2. KEINE Nullzeilen
- aus der Aufgabe geht ja hervor, dass es eine 2x2(also quadratisch) und das X [mm] \not= [/mm] 0 ist (also keine Nullzeile)

- jetzt bin ich verwirrt - :-( - was meint ihr dazu??

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Invertierbare Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Do 02.11.2006
Autor: DaMenge

Hi,

[mm] $X\not= [/mm] 0$ sagt nur, dass X nicht komplett 0 sein darf - also darf keine zwei Nullzeilen haben - es sagt NICHT, dass X gar keine Nullzeile haben darf.

denn [mm] $X=\pmat{1&0\\0&0}\not= \pmat{0&0\\0&0}=0$ [/mm]
und X ist nicht invertierbar.
(die letzte 0 heißt hier das neutrale Element der Addition bei den 2x2 Matrizen)

viele grüße
DaMenge

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Invertierbare Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Do 02.11.2006
Autor: drPC

achso !!!
ich dachte, dass eine matrix auch wenn sie nur eine einzige Nullzeile hat auch nicht invertierbar ist!!

Fazit: ich kann quadratische Matrizen mit einer einzigen(natürlich abhängig vom Format) Nullzeile invertieren!!

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Invertierbare Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Do 02.11.2006
Autor: Informacao

häää?? jetzt habt ihr mich voll verwirrt ;-) welche von meinen beiden behauptungen stimmt denn jetzt und welche nicht??

informacao

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Invertierbare Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Do 02.11.2006
Autor: drPC

heheheh juhuuuuuuu es ist mir gelungen einen mathe studenten zu verwirren hehe

hmm also wir haben gelernt:
- keine Nullzeile und
- quadratisches Format sind diese beiden bedingungen erfüllt so gibt es eine inverse

- und ich habe von deiner aussage folgendes verstanden: auch mit einer einzigen Nullzeile existieren inversen von quadratischen matrizen -

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Invertierbare Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Do 02.11.2006
Autor: DaMenge

Hi,

anscheinend hat sich drPC nur verlesen oder sowas...

also [mm] $X=\pmat{1&0\\0&0}$ [/mm] ist eine NICHT invertierbare 2x2 Matrix.
(die nicht die Nullmatrix ist)

damit sollten alle Fragen geklärt sein, oder?
(außer der Begründung über die Determinante oder ähnlich..)
viele Grüße
DaMenge

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Invertierbare Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Do 02.11.2006
Autor: drPC

juhuuuuuu danke für die aufklärung, denn nun hab ichs verstanden - genau ich ging auch davon aus, dass diese matrix X keine inverse haben kann

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Invertierbare Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Do 02.11.2006
Autor: galileo

Folgende Matrizen sind schon nicht invertierbar:

[mm] \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} [/mm]         [mm] \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} [/mm]

Viele Grüße, galileo

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