Irrational? bweisen. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mo 15.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. ich ahbe hier eine Aufgabe die ich zeigen muss. aber ich habe 0 ahnung. Ich kenne die irrationaler zahlen ja aber wie kann ich das zeigen? Bitte hilfe. danke danke danke
Aufgabe. a) Zeigen Sie dass für alle m,n [mm] \in [/mm] N gilt. Ist [mm] \wurzel{m} [/mm] irrational, so ist auch
[mm] \wurzel{m} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] irrational.
b) Ist [mm] 2^{1/3} [/mm] + [mm] 2^{1/2} [/mm] rational? Wenn ja wie kann ich das beweisen. Danke
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:38 Mo 15.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin SERIF!
zu b) sende ich dir später einen Link komme da jetz nich ran
zu a)
[mm] \wurzel{m} [/mm] =y y [mm] \in \IR \setminus [/mm] Q
[mm] \wurzel{m} +\wurzel{n} [/mm] =v
zu zeigen, das dann auch v [mm] \in \IR \Q
[/mm]
sei [mm] \wurzel{n} [/mm] irrational
dann ist nicht viel zu zeigen die Summe von irrationalen Zahlen ist auch wieder irrational
sei also [mm] \wurzel{n} [/mm] =d rational
dann gibt es zwei Zahlen a,b [mm] \in [/mm] Q mit
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] =d a,b teilerfremd
nun läßt sich eine irrationale Zahl belibig dicht durch eine rationale Zahl [mm] \bruch{g}{f} [/mm] aproximieren es bleibt ein unendlicher Rest R
d.h. [mm] \wurzel{m} [/mm] = [mm] \bruch{g}{f} [/mm] + R
[mm] \to
[/mm]
[mm] \wurzel{m} +\wurzel{n} [/mm] = [mm] \bruch{g}{f} +R+\bruch{a}{b}=\bruch{gb+af}{fb} [/mm] +R
nun ist [mm] s=\bruch{gb+af}{fb} [/mm] rational
[mm] \to
[/mm]
s+R=v ist irrational
nur ne Idee kannste bestimmt auch noch schöner schreiben
aber so könnte es funktionieren
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Hallo, zwerg
beim Fall [mm] $\sqrt{n} \in \IQ [/mm] $ hätte ich praktisch keinen Beweisbedarf gesehen,
für den anderen Fall kann ich zwar nichts aus dem Handgelenk schütteln,
aber
die Summe zweier irrationaler Zahlen kann durchaus rational sein nämlich irrationaleIr + ( rationaleR - irrationaleIr )
denn ( rationaleR - irrationaleIr ) ist immer irrational.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mo 15.11.2004 | | Autor: | zwerg |
hier der versprochene link
daamit kannst du b) auf a) zurückführen indem du die irrationalität von [mm] \wurzel{2} [/mm] nachweist
MfG zwerg
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Hallo!
Ich muss die selbe Aufgabe bearbeiten aber verstehe nicht warum ich nicht beweisen muss, dass die Summe 2er irrationalen Zahlen irrational ist.
Viel Grüße
Cosmotopianerin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:35 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Lies dir bitte diesen Beitrag von Hugo durch, dann sollten sich alle deine Fragen erledigt haben. Wenn nicht, dann melde dich bitte noch einmal.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 15.11.2004 | | Autor: | SERIF |
dankeschön
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 17.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin Moin!
Nochmal die Aufgabenstellung:
Zeigen Sie das für alle m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
ist [mm] \wurzel{m} [/mm] irrational, dann ist auch v mit
[mm] v=\wurzel{m}+\wurzel{n}
[/mm]
irrational.
1.Fall:
sei [mm] \wurzel{n} [/mm] rational, dann gibt es zwei Zahlen [mm] d,e\in\IN [/mm] mit
[mm] \wurzel{n}=\bruch{d}{e}
[/mm]
nun läßt sich eine irrationale Zahl belibig dicht durch eine rationale Zahl [mm] \bruch{a}{b} [/mm] aproximieren es bleibt ein unendlicher Rest
[mm] \to
[/mm]
[mm] \wurzel{m}=\bruch{a}{b}+R_{m}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] v=\wurzel{m}+\wurzel{n}=\bruch{a}{b}+R_{m}+\bruch{d}{e}=\bruch{ae+db}{be}+R_{m}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
v ist irrational
2.Fall
sei nun [mm] \wurzel{n} [/mm] irrational
[mm] \to
[/mm]
[mm] \wurzel{m}=\bruch{a}{b}+R_{m} [/mm] und [mm] \wurzel{n}=\bruch{d}{e}+R_{n}
[/mm]
a,b und d,e teilerfremd
[mm] \to
[/mm]
[mm] v=\wurzel{m}+\wurzel{n}=\bruch{a}{b}+R_{m}+\bruch{d}{e}+R_{n}
[/mm]
mit [mm] R_{m}\not=(-R_{n})
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
v ist irrational
nun ist aber die Summe zweier positiver irrationler Zahlen [mm] (\bruch{a}{b}+R_{m})+(\bruch{d}{e}+R_{n}) [/mm] genau dann eine rationale Zahl, wenn [mm] R_{m}=-R_{n} [/mm] ist.
sei nun also:
[mm] \wurzel{n}=(\bruch{d}{e}-R_{m})
[/mm]
aus der Voraussetzung ergibt sich:
[mm] n=[\wurzel{n}]^{2}=(\bruch{d}{e})^{2}-2R_{m}+(R_{m})^{2}
[/mm]
und
[mm] m=[\wurzel{m}]^{2}=(\bruch{a}{b})^{2}+2R_{m}+(R_{m})^{2}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
da [mm] m,n\in \IN [/mm] ist auch deren Summe [mm] s\in \IN
[/mm]
[mm] m+n=(\bruch{a}{b})^{2}+(\bruch{d}{e})^{2}+2(R_{m})^{2})
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
s ist im Widerspruch zur Voraussetzung irrational
es sei denn [mm] 2(R_{m})^{2} [/mm] ist eine rationale Zahl [mm] (\bruch{g}{h})^{2}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] s=(\bruch{a}{b})^{2}+(\bruch{d}{e})^{2}+(\bruch{g}{h})^{2}=\bruch{(hae)^{2}+(bdh)^{2}+(aeg)^{2}+(bdg)^{2}}{(beh)^{2}}
[/mm]
da [mm] s\in \IN
[/mm]
[mm] (hae)^{2}+(hbd)^{2}+(aeg)^{2}+(bdg)^{2}=k(beh)^{2} k\in \IN
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] a=b\wurzel{\bruch{k(eh)^{2}-(hd)^{2}-(dg)^{2}}{e^{2}(h^{2}+g^{2})}}
[/mm]
Widerspruch zur vorausgestzten Teilerfremdheit von a,b
[mm] \to
[/mm]
wenn [mm] n,m\in \IN [/mm] kann [mm] \wurzel{n} [/mm] nicht die Gestalt
[mm] \wurzel{n}=\bruch{d}{e}-R_{m} [/mm] haben
[mm] \to
[/mm]
v ist in jedem Fall irrational
ich glaube das wars was wir zeigen wollten
MfG zwerg
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Hallo zwerg,
ich kaufe dir diesen Beweis nicht ganz, ab, weil die Reste ja nicht eindeutig fest gelegt sind. Es gibt ja in der Nähe jeder irrationalen Zahl beliebig viele gekürzte Brüche.
Versuchen wir es doch mal so:
[mm]\sqrt{m}[/mm] ist irrational.
Ann.: [mm]\sqrt{m}+\sqrt{n}[/mm] ist rational.
Dann ist auch [mm]\frac{m-n}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}[/mm] rational.
(Diese Division ist durchführbar, solange nicht m und n gleichzeitig Null sind. Das geht aber nicht, weil [mm]\sqrt{m}[/mm] irrational ist und somit nicht Null.)
Dann ist auch [mm](\sqrt{m}+\sqrt{n})-(\sqrt{m}-\sqrt{n})=2\sqrt{n}[/mm] rational.
Dann ist auch [mm]\sqrt{n}[/mm] rational.
Dann kann aber [mm]\sqrt{m}+\sqrt{n}[/mm] nicht rational sein, ein Widerspruch zur Annahme.
Das Hauptproblem bei allen deinen Beweisen ist die Argumentation mit der Irrationalität. Weil die irrationalen Zahlen aber nicht gegen Addition und Multiplikation abgeschlossen sind, muss man mit den rationalen Zahlen arbeiten. Bei denen ist man sicher, dass die Zahlen rational bleiben.
Hugo
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 20:53 Mi 17.11.2004 | | Autor: | zwerg |
manchmal steht man uffn Schlauch
[mm] v=\wurzel{m}+\wurzel{n} n\not=m; n,m\in \IN
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] v^{2}=m+2\wurzel{m}\wurzel{n}+n=y
[/mm]
das Produkt ab einer irrationalen Zahl a mit einer belibigen Zahl b aus [mm] \IR a\not=b [/mm] ist wieder eine irrationale Zahl
[mm] \to
[/mm]
(i) y ist irrational
[mm] \to
[/mm]
[mm] v=\pm\wurzel{y}
[/mm]
die Wurzel einer irrationalen Zahl ist wieder irrational
wäre sie rational, so gäbe es Zahlen [mm] a,b\in \IN [/mm] mit
[mm] \wurzel{y}=\bruch{a}{b} [/mm] a,b teilerfremd
[mm] \to
[/mm]
[mm] y=\pm\bruch{a^{2}}{b^{2}}=\bruch{aa}{bb}
[/mm]
wegen der Abgeschlossenheit der Multiplikation in [mm] \IN [/mm] sind
c=aa [mm] c\in \IN
[/mm]
d=bb [mm] d\in \IN
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
y wäre rational
Widerspruch zu (i)
[mm] v=\wurzel{m}+\wurzel{n} [/mm] n=m; [mm] m,n\in \IN
[/mm]
[mm] v=2\wurzel{m}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
v ist irrational
so gehts auch
MfG zwerg
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Hallo, zwerg, Du hängst Dich da ja mächtig 'rein,
verzeih' bitt, daß ich in Deinem Posting "Ein weiterer Versuch" nach den 1ten Zeilen nicht
weitergelesen habe.
> manchmal steht man uffn Schlauch
ja, ich auch, und dann bin ich zu Ähnlichem gekomen wie Du in "ganz anders"
allerdings, wenn Du mit
> das Produkt ab einer irrationalen Zahl a mit einer
> belibigen Zahl b aus [mm]\IR a\not=b[/mm] ist wieder eine
> irrationale Zahl
meinst, das Produkt zweier irrationaler Zahlen könne nicht rational sein
kann ich nicht zustimmen da 1 / ( irrationale Zahl )
irrational ist aber mit dem Nenner multipliziert 1 ergibt.
mein Ansatz war dann, ohne extra zu beweisen, das [mm] $\sqrt{irrationaler}$
[/mm]
irrational ist
daß nur wenn [mm] $m*n=a^2 \wedge [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] $ gilt [mm] $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2 \in \IQ [/mm] $ zutrift,
dann
aber [mm] $v^2 [/mm] = m+n+2*a = m + [mm] \frac{a^2}{m} [/mm] + 2a = [mm] \frac{m^2+a^2+2ma}{m} [/mm] = [mm] \frac{(m+a)^2}{m}$ [/mm]
kein Quadratzahl aus $ [mm] \IQ$ [/mm] ist da nach Vereinbarung m keine ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Do 18.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin FriedrichLaher!
hmm hab ich da schon wieder ne Lücke drin. Nun gut werd mich die Tage mal ransetzen.
Zu deiner Idee mal anders aufgeschrieben
wenn
[mm] mn=a^{2} n,m\in \IN a\in \IQ \to (\wurzel{m}+\wurzel{n})^{2}\in \IQ
[/mm]
damit erschlägst du aber nur einen Teil natürlichen Zahlen eben jene, die paarweise multiplizert eine Quadratzahl bilden gefordert ist aber für alle [mm] m,n\in \IN
[/mm]
desweiteren muß ein solcher Satz erst gezeigt werden
und das könnte sich als schwierig erweisen
Bis später in diesem Zirkus
zwerg
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