Irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | Sei [mm] L=\IQ(\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7}) [/mm] und sei [mm] f(x) = x^5 - 4x^4-9x^3+5x^2+9x-1 \in \IQ[x] [/mm]. Zeigen Sie:
(a) [mm] L=\IQ(\wurzel[3]{5}+\wurzel[3]{7}) [/mm]
(b) f ist irreduzibel in L[x] |
Hallo Leute,
und mal wieder stehe ich vor einem Problem :)
Zu a) habe ich mir mit Hilfe einer anderen Aufgabe überlegt, dass ich zwei Dinge zeigen muss:
1. [mm] \wurzel[3]{5}+ \wurzel[3]{7} \in \IQ(\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7}) [/mm]
2. [mm] \wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7} \in \IQ(\wurzel[3]{5}+\wurzel[3]{7}) [/mm]
Zu 1. würde ich sagen, dass dies ja sozusagen trivial ist, denn die Basis von [mm] \IQ(\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7}) [/mm] enthält ja [mm] \wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7} [/mm] und somit auch die Summe davon.
Zu 2. habe ich nur einen Trcik gefunden, wenn ich mit Quadratwurzeln hantiere, denn hierdruch kann man mit der dritten binomischen Formel die Summe umformen und somit zeigen, dass beide Elemente in [mm] \IQ(\wurzel[3]{5}+\wurzel[3]{7}) [/mm] enthalten sind. Aber wie mache ich das nun, wenn ich ja die dritten Wurzeln habe? Oder muss ich ganz anders daran gehen??
und bei (b) weiß ich garnicht genau, wie ich das zeigen soll. ich muss zeigen, dass das polynom in L[x] keine Nullstellen hat. Habt ihr nen Tipp für mich, wie ich da am besten anfange?
Vielen Dank,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Fr 15.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Katthi!
> Sei [mm]L=\IQ(\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7}) [/mm] und sei [mm]f(x) = x^5 - 4x^4-9x^3+5x^2+9x-1 \in \IQ[x] [/mm].
> Zeigen Sie:
> (a) [mm]L=\IQ(\wurzel[3]{5}+\wurzel[3]{7}) [/mm]
> (b) f ist
> irreduzibel in L[x]
>
> und mal wieder stehe ich vor einem Problem :)
>
> Zu a) habe ich mir mit Hilfe einer anderen Aufgabe
> überlegt, dass ich zwei Dinge zeigen muss:
> 1. [mm]\wurzel[3]{5}+ \wurzel[3]{7} \in \IQ(\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7})[/mm]
>
> 2. [mm]\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7} \in \IQ(\wurzel[3]{5}+\wurzel[3]{7}) [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu 1. würde ich sagen, dass dies ja sozusagen trivial ist,
> denn die Basis von [mm]\IQ(\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7}) [/mm]
> enthält ja [mm]\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7}[/mm] und somit auch die
> Summe davon.
Wobei ich noch hinzufuegen muss, dass es nicht die Basis von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{7}, \sqrt[3]{7})$ [/mm] gibt.
> Zu 2. habe ich nur einen Trcik gefunden, wenn ich mit
> Quadratwurzeln hantiere, denn hierdruch kann man mit der
> dritten binomischen Formel die Summe umformen und somit
> zeigen, dass beide Elemente in
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{5}+\wurzel[3]{7}) [/mm] enthalten sind. Aber wie
> mache ich das nun, wenn ich ja die dritten Wurzeln habe?
> Oder muss ich ganz anders daran gehen??
Du kannst natuerlich aehnlich vorgehen. Berechne doch mal ein paar Potenzen von [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] + [mm] \sqrt[3]{7}$. [/mm] Wenn du z.B. [mm] $\alpha^6$ [/mm] und [mm] $\alpha^3$ [/mm] ausrechnest, den ganzzahligen Anteil abziehst und durch einen passenden Koeffizienten teilst, kannst du die beiden Ergebnisse voneinander abziehen und durch etwas passendes teilen. Dann bekommst du [mm] $\sqrt[3]{5} [/mm] = [mm] \text{rationaler Ausdruck in } \alpha$.
[/mm]
> und bei (b) weiß ich garnicht genau, wie ich das zeigen
> soll. ich muss zeigen, dass das polynom in L[x] keine
> Nullstellen hat.
Das ist ein notwendiges Kriterium, aber kein hinreichendes.
> Habt ihr nen Tipp für mich, wie ich da am
> besten anfange?
Ich wuerde den Gradsatz verwenden. Betrachte die Koerpererweiterung [mm] $L(\alpha) [/mm] / L$, wobei [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle von $f$ in [mm] $\IC$ [/mm] ist. Vergleiche den Grad mit dem der Erweiterung [mm] $\IQ(\alpha) [/mm] / [mm] \IQ$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:35 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Vielen Dank für deine Antwort.
wow bin ja erstmal froh, dass der Anfang schonmal stimmt. Habe jetzt grad zum 3.Mal versucht [mm] \alpha^3 und \alpha^6 [/mm] zu berechnen und dann deinen Vorschlag umzusetzen. Leider kommen bei mir immer so hässliche Potenzen raus, dass ich da nichts zusammenfassen kann, dass nach der Subtraktion was hübsches rauskommt. Vorallem weil ich ja bei dem ^6 noch Ausdrücke mit [mm] \wurzel[3]{5^4} [/mm] (gleiches mit 7) habe.
Als ganzzahlige Koeffizienten habe ich einmal 12 und einmal 774, ziehe ich diese ab und teile oben durch 3 und unten durch 9 erhalte ich mit Hilfe der Mitteilung nach der Subtraktion:
[mm] 14\wurzel[3]{5^2}\wurzel[3]{7} + 12\wurzel[3]{5}\wurzel[3]{7^2} [/mm] aber was steht auf der anderen Seite des = ?? Denn da habe ich dann ja eigentlich stehen [mm] \bruch{\alpha^6-774}{9}-\bruch{\alpha^3-12}{3} [/mm] aber das ist doch irgendwie quatsch??
Zum zweiten Teil hatte ich schon fast befürchtet, dass ich den Grad der Körpererweiterung berechnen muss. Das habe ich nun leider noch garnicht genau verstanden :( Mir fehlt da irgendwie nen Beispiel, was mir klarmacht, wie man am Besten vorgeht. Welche Nullstelle betrachte ich denn sinnvollerweise?
Also ich weiß, dass ich das über Q erstmal zerlege und ich dann die Minimalpolynome betrachten muss. Wenn ich das gefunden habe, was auch über meinem Körper irreduzibel ist, schaue ich mir den Grad des MP an und das ist dann der Grad meiner Körpererweiterung, oder?
Aber wie zeige ich dann damit, dass das gegebene Polynom nun irreduzibel ist?
Und was meinst du ich soll das über L betrachten und dann mit Q vergleichen? Mein L ist doch Q? Oder wie meinst du das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Sa 16.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo katthi,
zur Erinnerung: [mm] \wurzel[3]{5^4}=5\wurzel[3]{5} [/mm] etc.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
bei (a) bin ich noch nicht weiter
bei (b) habe ich jetzt mal versuche den Grad der Körpererweiterung zu bestimmen. Mein Körper ist ja [mm] \IQ(\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{7}) [/mm]. jetzt habe ich dies zerlegt in [mm] [\IQ(\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{7}):\IQ(\wurzel[3]{5})][\IQ(\wurzel[3]{5}):\IQ] [/mm], wobei ich für jeden Teil den Grad 3 ermittelt habe, sodass insgesamt Grad 9 herauskommt. Kann das sein?
Und was bedeutet das jetzt für meine Irreduzibilität??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Sa 16.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> bei (a) bin ich noch nicht weiter
Schreib doch mal [mm] $\alpha^3$ [/mm] und [mm] $\alpha^6$ [/mm] auf. Was kommt heraus? Und beachte den Hinweis von reverend.
> bei (b) habe ich jetzt mal versuche den Grad der
> Körpererweiterung zu bestimmen. Mein Körper ist ja
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{7}) [/mm]. jetzt habe ich dies
> zerlegt in [mm][\IQ(\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{7}):\IQ(\wurzel[3]{5})][\IQ(\wurzel[3]{5}):\IQ] [/mm],
> wobei ich für jeden Teil den Grad 3 ermittelt habe, sodass
> insgesamt Grad 9 herauskommt. Kann das sein?
Das ist gut moeglich. Er ist zumindest von der Form $3 [mm] \cdot [/mm] k$ mit $k [mm] \in \{ 1, 2, 3 \}$.
[/mm]
> Und was bedeutet das jetzt für meine Irreduzibilität??
Wie schon gesagt: was kannst du ueber [mm] $[L(\alpha) [/mm] : L]$ aussagen, wenn [mm] $\alpha$ [/mm] nun eine Nullstelle von $f$ in [mm] $\IC$ [/mm] ist? Das hilft dir bei der Irreduzibilitaet.
Schau dir vielleicht erstmal die Erweiterung [mm] $[\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ]$ [/mm] an. (Die brauchst du eh.) Welchen Grad hat die?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Also die Potenzen sind:
[mm] \alpha ^3 = 3\wurzel[3]{5^2}\wurzel[3]{7}+3\wurzel[3]{5}\wurzel[3]{7^2}+12 \qquad
\alpha^6 = 135\wurzel[3]{5^2}\wurzel[3]{7}+117\wurzel[3]{5}\wurzel[3]{7^2}+774 [/mm]
Aber damit komme ich halt nicht weiter, dass ich nach einem Term auflösen kann um zuzeigen, dass der halt in [mm] \IQ(\wurzel[3]{5},\wurzel[3]{7}) [/mm] liegt.
Ja und den Grad von [mm] [\IQ(\alpha):\IQ] [/mm] da weiß ich jetzt irgendwie nicht, wie ich das machen soll, habe ja zwei Minimalpolynome quasi zu betrachten, die beide Grad 3 haben über [mm] \IQ [/mm], aber wie bringe ich die in Kombination?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Sa 16.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also die Potenzen sind:
>
> [mm]\alpha ^3 = 3\wurzel[3]{5^2}\wurzel[3]{7}+3\wurzel[3]{5}\wurzel[3]{7^2}+12 \qquad
\alpha^6 = 135\wurzel[3]{5^2}\wurzel[3]{7}+117\wurzel[3]{5}\wurzel[3]{7^2}+774[/mm]
Hiermit kannst du zeigen: [mm] $\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{7}^2$ [/mm] liegt in [mm] $\IQ(\sqrt[3]{5} [/mm] + [mm] \sqrt[3]{7})$.
[/mm]
Mit der gleichen Methode (andere Potenzen von [mm] $\alpha$ [/mm] betrachten) bekommst du noch weitere Ausdruecke [mm] $\sqrt[3]{5}^a \sqrt[3]{7}^b$ [/mm] mit passenden $a, b$, die in [mm] $\IQ(\sqrt[3]{5} [/mm] + [mm] \sqrt[3]{7})$ [/mm] liegen. Wenn du genuegend viele davon hast, kannst du sie passend multiplizieren bzw. teilen um [mm] $\sqrt[3]{5} \in \IQ(\sqrt[3]{5} [/mm] + [mm] \sqrt[3]{7})$ [/mm] zu bekommen (oder [mm] $\sqrt[3]{7} \in \IQ(\sqrt[3]{5} [/mm] + [mm] \sqrt[3]{7})$). [/mm] Und dann bist du praktisch fertig.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:05 So 17.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Vielen Dank,
dann werde ich da gleich mal rumrechnen. das klingt ziemlich aufwändig, wenn man bedenkt, dass das eine alte Klausuraufgabe ist.
und dann zum zweiten Teil, nun habe ich ja wieder ein Polynom gegeben und soll zeigen, dass das in L irreduzibel ist.
Ich würde dann jetzt die NST berechnen und muss doch dann wieder irgendwie zeigen, dass diese einfach sind, sodass f mein Minimalpolynom ist, oder? Ich weiß nicht genau, wie ich die Ausdrücke dann dahin zusammenführe, dass meine Aussage ist, dass das Polynom über L irreduzibel ist. Welche Bedingungen benötige ich also dafür und was ist der Satz oder so, der mir die Behauptung liefert?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 19.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 19.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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