Irreduzibel in \IZ < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] f(x)=x^5-12x^4-4x^3+14x^2-8x+21 [/mm] irreduzibel ist in [mm] \IZ[x] [/mm] |
Hallo!
Da Eisenstein nicht funktioniert, hab ich eine Reduktion vorgenommen, also modolu 5. In [mm] \IZ_5 [/mm] hat f(x) folgende Form: [mm] (x)=x^5+3x^4+x^3+4x^2+2x+1
[/mm]
Nun muss ich wieder auf Nst. prüfen
[mm] =>f(0)=1;f(1)=\overline{12}=2;f(2)=\overline{109}=4;f(3)=\overline{556}=1;f(4)=\overline{1929}=4
[/mm]
Da alle ungleich 0, ist das Polynom irrd. und man kann keinen linearen Term abspalten.
Was noch sein kann, ist, dass es in ein Polynom vom Grad 2 und ein Polynom vom Grad 3 zerfällt. Das würde ich mit Koeffizientenvergleich machen, jedoch, bevor ich das mache, würde ich gerne wissen, ob meine Überlegungen richtig sind und ob ich mich nicht verrechnet habe.
Lieben gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Sa 24.11.2012 | | Autor: | teo |
> Zeige, dass [mm]f(x)=x^5-12x^4-4x^3+14x^2-8x+21[/mm] irreduzibel ist
> in [mm]\IZ[x][/mm]
> Hallo!
> Da Eisenstein nicht funktioniert, hab ich eine Reduktion
> vorgenommen, also modolu 5. In [mm]\IZ_5[/mm] hat f(x) folgende
> Form: [mm](x)=x^5+3x^4+x^3+4x^2+2x+1[/mm]
> Nun muss ich wieder auf Nst. prüfen
Vergleiche mit deinem anderen Post. Hier sind die Koeffizienten nicht teilerfremd! D.h. du darfst diesen Satz hier nicht verwenden.
Um zu zeigen, dass dieses Polynom keine Nullstelle in [mm] \IZ [/mm] hat brauchst du einen anderen Satz. Solltest du diesen noch nicht kennen, beweise ihn schnell (ist nicht so schwer):
Sei $f = [mm] a_0 [/mm] + a_1X + ... + [mm] anX^n \in \IZ[X]$ [/mm] mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$. Ist [mm] \frac{p}{q} [/mm] eine rationale Nullstelle von f mit $p,q [mm] \in \IZ$ [/mm] und $ggT(p,q)=1$, so gilt $q | [mm] a_n$ [/mm] und $p | [mm] a_0$.
[/mm]
Damit kannst du nun zeigen, dass f keine Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] hat und dann musst du eben noch Koeffizientenvergleich machen.
>
> [mm]=>f(0)=1;f(1)=\overline{12}=2;f(2)=\overline{109}=4;f(3)=\overline{556}=1;f(4)=\overline{1929}=4[/mm]
> Da alle ungleich 0, ist das Polynom irrd. und man kann
> keinen linearen Term abspalten.
> Was noch sein kann, ist, dass es in ein Polynom vom Grad 2
> und ein Polynom vom Grad 3 zerfällt. Das würde ich mit
> Koeffizientenvergleich machen, jedoch, bevor ich das mache,
> würde ich gerne wissen, ob meine Überlegungen richtig
> sind und ob ich mich nicht verrechnet habe.
>
> Lieben gruß
> TheBozz-mismo
Grüße
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Hallo!
Wir hatten das Reduktionsverfahren nur in einer Bemerkung, aber bei Wikipedia seh ich auch nichts von der Vor. von der Teilerfremdheit der Koeffizienten.
Aber wir haben das Polynom [mm] $x^5+3x^4+x^3+4x^2+2x+1 [/mm] $ und teilerfremd bedeutet doch, dass es keine nat. Zahl außer der 1 gibt, die alle Koeffizienten teilt. Also sind doch alle Koeffizienten teilerfremd, da nur die 1 ein gemeinsamer Teiler ist. Aber sie sind nicht paarweise teilerfremd, jedoch weiß ich nicht, was hier gemeint ist. Hast du ein Link, wo ich den vollständigen Satz mit Vor. sehen kann?
Oder? Seh ich grad was vollkommen falsch?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 So 25.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
tut mir leid, da hab ich einen Fehler gemacht.. Hier der Satz vollständig und richtig:
Sei $f = [mm] a_0 [/mm] + a_1X + ... + [mm] a_nX^n \in \IZ[X]$ [/mm] mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0, n > 0$ und teilerfremden Koeffizienten. Sei $p [mm] \in \IN$ [/mm] eine Primzahl mit [mm] $a_n \not\equiv [/mm] 0$ mod $p$. Ist [mm] $\overline{f} [/mm] = [mm] \sum_{j = 0}^{n} \overline{a_j}X^j$ [/mm] irreduzibel in [mm] \IF_p[X], [/mm] so ist f irreduzibel in [mm] \IZ[X].
[/mm]
Noch einmal Entschuldigung für meinen Fehler!
Grüße
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