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Hallo alle zusammen,
ich habe ein Problem damit zu zeigen, dass ein Polynom nicht irreduzibel ist.
Und zwar habe ich das Problem konkret bei dem Polynom
[mm] x^4-2x^2-3
[/mm]
Wir haben in der Vorlesung immer nur das Kriterium von Eisenstein verwendet und damit immer schön zeigen können das ein Polynom irreduzibel ist.
Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben. Eine Zerlegung in irreduzible Faktoren habe ich bereits über Q(i)[x] gefunden:
(x+i)(x-i)(x+wurzel(3))(x-wurzel(3))
ich hoffe doch mal, dass das stimmt 
Um Hilfe bei meinem Problem wird gebeten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Fr 29.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Frank!
> ich habe ein Problem damit zu zeigen, dass ein Polynom
> nicht irreduzibel ist.
Wenn du zeigen willst, daß es nicht irreduzibel ist, mußt du doch zeigen, daß es reduzibel ist, und das machst du am einfachsten, indem du die Zerlegung hinschreibst (s.u.)
Du mußt übrigens immer dazusagen, um welchen Körper es sich handelt.
> Und zwar habe ich das Problem konkret bei dem Polynom
>
> [mm]x^4-2x^2-3[/mm]
>
> Wir haben in der Vorlesung immer nur das Kriterium von
> Eisenstein verwendet und damit immer schön zeigen können
> das ein Polynom irreduzibel ist.
>
> Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben. Eine Zerlegung
> in irreduzible Faktoren habe ich bereits über Q(i)[x]
> gefunden:
> (x+i)(x-i)(x+wurzel(3))(x-wurzel(3))
> ich hoffe doch mal, dass das stimmt
Das ist eine Zerlegung über [mm]\IC[/mm], aber nicht über [mm]\IQ[/mm](i), denn [mm] \wurzel{3} [/mm] liegt nicht in [mm]\IQ[/mm](i).
Aber aus diesr Zerlegung kannst du dir Zerlegungen über [mm]\IQ[/mm] und über [mm]\IR[/mm] zusammenbauen. Durch zusammenfassen der ersten beiden Faktoren entsteht eine über [mm]\IR[/mm]:
[mm] (x^{2}+1)(x+\wurzel{3})(x-\wurzel{3}),
[/mm]
und wenn ich die beiden hinteren Faktoren auch noch zusammenmultipliziere, entsteht eine über [mm] \IQ:
[/mm]
[mm] (x^{2}+1)(x^{2}-3)
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg und guten Rutsch
Dieter
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Hallo nach HH,
also gehe ich jetzt recht in der Annahme das es wirklich ausreicht die Nullstellen zu suchen, um so eine Zerlegung angeben zu können und bei der Zerlegung muss ich dann nur darauf achten, in welchem Körper ich mich befinde???
Kann ich dann auch einfach Körpererweiterungen nehmen also wie schon gesagt Q(i) oder Q(i,Wurzel(3))??
Gruß aus der Mitte der Republik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 31.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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