Irreduzibilität < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:10 Di 20.02.2007 | | Autor: | Joergi |
Hallo Ihr fleißigen Mathe-Asse!
Ich hätte da mal eine generelle Frage zum Nachweis der Irreduzibilität. Ich lerne zur Zeit für eine Algebra-Klausur *grusel* und mir haben sich da einige Fragen zu einem Unterthema gestellt.
Angenommen ich möchte die Irreduzibilität eines Polynoms nachweisen, wie gehe ich am Besten vor?
Also ich bin bisweilen immer so an die Sache herangegangen, da man ja meistens Irreduzibilität über [mm]\IZ[/mm] oder [mm]\IQ[/mm] nachweisen soll, überprüfe ich zuerst immer ob das jeweilige Polynom überhaupt irgendwelche ganzzahligen Nullstellen hat, dabei probiere ich dann immer schnell durch, wenn es halt keine gibt, dann schaue ich mir die Koeffizienten des Polynoms dann genauer an, d.h. ich versuche herauszufinden ob das Polynom dann primitiv ist um dann das Eisensteinkriterium anwenden zu können und dann mit dem Satz von Gauss auch Aussagen für [mm]\IQ[/mm] treffen zu können.
Sollte halt das Eisensteinkriterium nicht anwendbar sein, so bleibt mir ja nur das Koeffizientenreduktionsmittel mod p, wobei man dann meistens überprüft ob das Polynom durch ein irreduzibles Polynom 2. Grades, das einzige in [mm]\IF_{2} = \IZ/2\IZ[/mm] ist dann [mm]x^2+x+1[/mm] bzw. in [mm]\IF_{3} = \IZ/3\IZ[/mm] sind das [mm]x^2+x+2, x^2+2x+2, x^2+1[/mm] usw. durchdividierbar ist (Polynomdivision) unter Beachtung für mögliche Zerlegungen nach der Gradformel: [mm]grad(fg)=grad(f)+grad(g)[/mm] .....
Wie diese beiden Verfahren anwendbar sind und wann ich sie anwenden darf weiß ich, nun aber zu meiner Frage:
Darüber hinaus hat man uns noch zwei andere, ich nenne es mal Hilfsmittelchen, gezeigt:
1. Bilde eine kanonische Abbildung: [mm]\Phi : x \mapsto x+1[/mm] wobei dies ein Ringautomorphismus ist. Man setzt also [mm]x+1[/mm] in das Polynom ein, berechnet es und wendet dann das Eisensteinkriterium an, meine Frage nun: Wann ist es sinnvoll sowas zu versuchen? Man kann das ja nicht für jedes Polynom anwenden im Sinne des Rechenaufwandes usw.
2. Koeffizientenvergleich: Hat man beispielsweise eine Gleichung vierten Grades (nicht biquadrat.), dann kann man allgemein bilden: [mm]f=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f) = adx^4+(ae+bd)x^3+(af+be+cd)x^2+(bf+ce)x+cf[/mm] und dann den üblichen Koeffizientenvergleich durchführen.
Nun hierzu meine Frage: Kann man diesen Ansatz generell immer machen, also quasi per Hand nachweisen, egal für welches Polynom, ob es reduzibel ist oder nicht!?
Des Weiteren, gilt das auch für eine kubische Gleichung, also kann man auch den Ansatz versuchen: [mm]f=(ax^2+bx+c)(dx+e) = adx^3+(ae+bd)x^2+(be+cd)x+ce[/mm]!? Wenn ja, wäre es dann nicht meistens besser um sicher zu gehen immer einen Koeffizientenvergleich zu machen anstatt die Reduktionsmethode anzuwenden!?
Wäre einmal sehr nett wenn sich jemand die Mühe machen würde und mal schildern würde, wann man was am besten einsetzt um sicher zu gehen, und welches Verfahren eher lohnt um zum Ziel zu kommen.
Allen, die sich versuchen einen recht lieben Dank im Voraus!
Allerliebste Grüße
Joergi
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 27.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
