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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Di 12.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Seien [mm]µ_{25}=e^{2\pi i/25} [/mm]die 25.Einheitswurzel in C und
f:= [mm]x^7 + 6x^4 -9x+21 \in \IQ[X][/mm].
Zeige :
a) Das Polynom f ist irreduzibel in [mm]\IQ[X][/mm].
b) Das Polynom f ist irreduzibel in [mm][mm] \IQ(µ_{25})[X]. [/mm] (Hinweis Gradsatz) |
zu a)
f:= [mm]x^7 + 6x^4 -9x+21 \in \IQ[X][/mm].
nach Eisenstein: f ist primitiv(also ggT(1,6,9,21)=1)
grad von f>0 und es gibt ein p=3, so dass
p teilt nicht 1, p |6,9,21 und p²=9 teilt nicht 21.
-->nach Eisenstein f irreduzibel über [mm]\IZ[X] \Rightarrow \IQ[X][/mm].
f hat keine Nullstelle in Q nur in C.
zu b) hier weiß ich leider nicht was ich da machen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Di 12.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
a) hast du ja perfekt gelöst ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Das Polynom f ist irreduzibel in [mm]\IQ(µ_{25})[X].[/mm] (Hinweis Gradsatz)
Bei b) ist doch ein Hinweis gegeben. Der Grad des Zerfällungskörpers von f muß jedenfalls ein Vielfaches von 7 sein. Kann 7 auch in [mm] [\IQ(µ_{25}):\IQ] [/mm] als Faktor auftauchen?
Damit müßte man dann einen Beweis zusammenbauen können.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 12.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
> Bei b) ist doch ein Hinweis gegeben. Der Grad des
> Zerfällungskörpers von f muß jedenfalls ein Vielfaches von
> 7 sein. Kann 7 auch in [mm][\IQ(µ_{25}):\IQ][/mm] als Faktor
> auftauchen?
Der Gradsatz sagt, dass [mm](a_i : i\in I )[/mm]eine Basis in F:K und [mm]
(b_j :j \in J) [/mm] eine Basis von L:K, so ist [mm](a_i b_j: (i,j)\in I\times J)[/mm] eine Basis von L:K.
Das Polynom f ist dann das Minimalpolynom deshalb hat dann [mm][\IQ(µ_{25}):\IQ][/mm] den Grad 7.
Wie komme ich dann darauf, dass f irreduzibel in [mm]\IQ(µ_{25}[X][/mm]? Ich verstehs einfach nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 14.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> > Bei b) ist doch ein Hinweis gegeben. Der Grad des
> > Zerfällungskörpers von f muß jedenfalls ein Vielfaches von
> > 7 sein. Kann 7 auch in [mm][\IQ(µ_{25}):\IQ][/mm] als Faktor
> > auftauchen?
>
> Der Gradsatz sagt, dass [mm](a_i : i\in I )[/mm]eine Basis in F:K
> und [mm]
(b_j :j \in J)[/mm] eine Basis von L:K, so ist [mm](a_i b_j: (i,j)\in I\times J)[/mm]
> eine Basis von L:K.
Der Gradsatz sagt, daß sich in einem Körperturm die Grade multiplizieren: Ist L [mm] \subset [/mm] K [mm] \subset [/mm] M, so ist [M:K][K:L] = [M:L].
> Das Polynom f ist dann das Minimalpolynom deshalb hat dann
> [mm][\IQ(µ_{25}):\IQ][/mm] den Grad 7.
[mm] [\IQ(µ_{25}):\IQ] [/mm] = 20 = [mm] \phi(25)
[/mm]
> Wie komme ich dann darauf, dass f irreduzibel in
> [mm]\IQ(µ_{25}[X][/mm]? Ich verstehs einfach nicht.
Der Grad des Zerfällungskörpers von f über [mm] \IQ [/mm] ist jedenfalls durch 7 teilbar. Wenn f über [mm] \IQ(µ_{25}) [/mm] in h*g zerfällt, dann ist Grad des Zerfällungskörpers von f über [mm] \IQ(µ_{25}) [/mm] nicht durch 7 teilbar weil die Grade von h und g kleiner als 7 sind und 7 eine Primzahl ist, also ist der Grad dieses Körpers über [mm] \IQ [/mm] nicht durch 7 teilbar. Das ist ein Widerspruch.
Gruß
Dieter
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Bitte, könnt ihr mir sagen wie man auf diese 7 kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 So 17.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Tag Verena und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bitte, könnt ihr mir sagen wie man auf diese 7 kommt?
Diese 7 ist der Grad von f (s. Ursprungsfrage). Da f über [mm] \IQ [/mm] irreduzibel ist, hat jeder Oberkörper von [mm] \IQ, [/mm] in dem f einen Linearfaktor abspaltet, einen Grad über [mm] \IQ, [/mm] der durch 7 teilbar ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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hi nochmal
Mri war die 20 nicht ganz klar, aber das ist wg dem Kreisteilungspolynom, gell, nach formel [mm] p^{n-2}*(p-1) [/mm] also 5*4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mo 18.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Verena!
> Mir war die 20 nicht ganz klar, aber das ist wg. des
> Kreisteilungspolynoms, gell, nach der Formel [mm]p^{n-2}*(p-1)[/mm] also
> 5*4
So isset!
Ciao
Dieter
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