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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 So 06.04.2014 | | Autor: | Eudoxos |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das folgende Polynom in [mm] \IQ[X] [/mm] irreduzibel ist:
f(x)= [mm] \bruch{1}{4}*X^{3}+\bruch{9}{2}*X^{2}+9*X-3 [/mm] |
Hallo,
ich schreibe übermorgen eine Algebraklausur und dort müssen wir unter anderem Polynome auf Irreduzibilität prüfen. Jetzt habe ich mir verschieden Kriterien angeeignet: Eisenstein, Satz von Gauß, modulo p und Polynome vom Grad 2 und 3 mit Nullstellen. Jedoch hatten in den Sätzen alle Polynome immer Koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] und man hat damit dann Irreduzibilität in [mm] \IQ[X] [/mm] und somit automatisch auch in [mm] \IZ[X] [/mm] gezeigt.
Bei dieser Aufgabe sind die Koeffizienten jedoch aus [mm] \IQ, [/mm] wie muss ich jetzt vorgehen? Ich habe mir nun folgende gedacht.
Ich klammer [mm] \bruch{1}{4} [/mm] aus und erhalte:
f(x)= [mm] \bruch{1}{4}*(X^{3}+18*X^{2}+36*X-12) [/mm] := [mm] \bruch{1}{4}*g(X)
[/mm]
Nun ist g(X) [mm] \in \IZ[X] [/mm] und mit Eisenstein und p=3 folgt:
p teilt nicht 1 in [mm] \IZ
[/mm]
p teilt 18 und 36 in [mm] \IZ
[/mm]
[mm] p^{2} [/mm] teilt nicht -12 in [mm] \IZ
[/mm]
Somit ist g(X) irreduzibel in [mm] \IQ[X].
[/mm]
Also ist bei der Darstellung g=r*s, r oder s Einheit.
Multipliziere ich nun dieses Einheit mit [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] so bleibt das eine Einheit in [mm] \IQ.
[/mm]
Also ist f auch irreduzibel.
Angenommen s sei die Einheit.
Eigentlich ist es sogar egal, dass [mm] \bruch{1}{4}*s [/mm] in [mm] \IQ [/mm] eine Einheit bleibt, denn auch mit [mm] f=\bruch{1}{4}*r*s [/mm] ist s ja die Einheit und somit f irreduzibel. Also wenn man einfach den Faktor zugehörig zu r betrachtet.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand schnell antwortet, ob ich mir das alles so richtig denke. Welche Fehler habe ich gemacht und wie macht man das alles richtig, wenn man Koeffizienten aus [mm] \IQ [/mm] hat?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 So 06.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie, dass das folgende Polynom in [mm]\IQ[X][/mm] irreduzibel
> ist:
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{4}*X^{3}+\bruch{9}{2}*X^{2}+9*X-3[/mm]
> Hallo,
>
> ich schreibe übermorgen eine Algebraklausur und dort
> müssen wir unter anderem Polynome auf Irreduzibilität
> prüfen. Jetzt habe ich mir verschieden Kriterien
> angeeignet: Eisenstein, Satz von Gauß, modulo p und
> Polynome vom Grad 2 und 3 mit Nullstellen. Jedoch hatten in
> den Sätzen alle Polynome immer Koeffizienten in [mm]\IZ[/mm] und
> man hat damit dann Irreduzibilität in [mm]\IQ[X][/mm] und somit
> automatisch auch in [mm]\IZ[X][/mm] gezeigt.
>
> Bei dieser Aufgabe sind die Koeffizienten jedoch aus [mm]\IQ,[/mm]
> wie muss ich jetzt vorgehen? Ich habe mir nun folgende
> gedacht.
>
> Ich klammer [mm]\bruch{1}{4}[/mm] aus und erhalte:
>
> f(x)= [mm]\bruch{1}{4}*(X^{3}+18*X^{2}+36*X-12)[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{4}*g(X)[/mm]
>
> Nun ist g(X) [mm]\in \IZ[X][/mm] und mit Eisenstein und p=3 folgt:
>
> p teilt nicht 1 in [mm]\IZ[/mm]
> p teilt 18 und 36 in [mm]\IZ[/mm]
> [mm]p^{2}[/mm] teilt nicht -12 in [mm]\IZ[/mm]
>
> Somit ist g(X) irreduzibel in [mm]\IQ[X].[/mm]
>
> Also ist bei der Darstellung g=r*s, r oder s Einheit.
>
> Multipliziere ich nun dieses Einheit mit [mm]\bruch{1}{4},[/mm] so
> bleibt das eine Einheit in [mm]\IQ.[/mm]
> Also ist f auch irreduzibel.
Ist voellig in Ordnung. Es gilt: Ist $K$ ein Koerper, [mm] $f\in [/mm] K[X]$ und [mm] $0\neq k\in [/mm] K$, so ist $f$ irreduzibel in $K[X]$ genau dann, wenn $kf$ es ist.
>
> Angenommen s sei die Einheit.
> Eigentlich ist es sogar egal, dass [mm]\bruch{1}{4}*s[/mm] in [mm]\IQ[/mm]
> eine Einheit bleibt, denn auch mit [mm]f=\bruch{1}{4}*r*s[/mm] ist s
> ja die Einheit und somit f irreduzibel. Also wenn man
> einfach den Faktor zugehörig zu r betrachtet.
Das ist mir nicht ganz klar; lass es einfach weg.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand schnell
> antwortet, ob ich mir das alles so richtig denke. Welche
> Fehler habe ich gemacht und wie macht man das alles
> richtig, wenn man Koeffizienten aus [mm]\IQ[/mm] hat?
>
> Vielen Dank
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