Irreduzibilität von Polynomen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm] f=\summe_{i=1}^{n} a_i X^i [/mm] mit [mm] a_na_0\not=0.
[/mm]
Zeigen Sie: Genau dann ist f irreduzibel, wenn das Polynom [mm] \summe_{i=1}^{n-i} a_i X^{n-i} [/mm] irreduzibel ist. |
Da habe ich eigentlich gar keine rechte Idee.
Es fällt immerhin auf, dass K ein Körper sein soll. Daher gehe ich mal davon aus, dass man das auch ausnutzen soll. (In einem Ring würde die Aussage aber natürlich auch schlicht und einfach nicht stimmen.)
Ich hatte mir gedacht, dass man vielleicht einen Induktionsbeweis machen kann, da ist aber nichts dabei herumgekommen.
Weiter habe ich natürlich versucht, aus einer Zerlegung von f eine Zerlegung des zweiten Polynoms zu schließen. Hat aber auch nichts gebracht.
Dann habe ich mir gedacht, man betrachtet die Nullstellen von f in seinem Zerfällungskörper. Hat mir aber auch nicht geholfen.
Viele Punkte gab es für die Aufgabe nicht. Daher sollte die Lösung möglichweise gar nicht sooo schwer sein. Mir fällt aber leider nichts mehr ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Di 18.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K ein Körper und [mm]f=\summe_{i=1}^{n} a_i X^i[/mm] mit
> [mm]a_na_0\not=0.[/mm]
> Zeigen Sie: Genau dann ist f irreduzibel, wenn das Polynom
> [mm]\summe_{i=1}^{n-i} a_i X^{n-i}[/mm] irreduzibel ist.
>
> Da habe ich eigentlich gar keine rechte Idee.
> Es fällt immerhin auf, dass K ein Körper sein soll.
> Daher gehe ich mal davon aus, dass man das auch ausnutzen
> soll. (In einem Ring würde die Aussage aber natürlich
> auch schlicht und einfach nicht stimmen.)
Doch, das stimmt genauso in beliebigen kommutativen Ringen mit Eins. Wobei man normalerweise einen Integritaetsring voraussetzt, wenn man von irreduzibel reden moechte.
> Ich hatte mir gedacht, dass man vielleicht einen
> Induktionsbeweis machen kann, da ist aber nichts dabei
> herumgekommen.
Das klappt auch nicht.
> Weiter habe ich natürlich versucht, aus einer Zerlegung
> von f eine Zerlegung des zweiten Polynoms zu schließen.
> Hat aber auch nichts gebracht.
Das ist schon der richtige Ansatz.
Zum Beispiel ist [mm] $(x^2+2x+3) \cdot [/mm] (5x+6) = 5 [mm] x^3+16 x^2+27 [/mm] x+18$ und [mm] $(3x^2+2x+1) [/mm] * (6x+5) = 18 [mm] x^3+27 x^2+16 [/mm] x+5$. Faellt dir was auf? :)
LG Felix
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>> (In einem Ring würde die Aussage aber natürlich
>> auch schlicht und einfach nicht stimmen.)
> Doch, das stimmt genauso in beliebigen kommutativen Ringen mit Eins.
> Wobei man normalerweise einen Integritaetsring voraussetzt, wenn man
> von irreduzibel reden moechte.
Da habe ich, glaube ich ein Gegenbeispiel. Man betrachte das Polynom [mm] X^3-8 [/mm] in [mm] \IZ[X). [/mm] Es hat ja X=2 als Nullstelle und ist daher reduzibel.
Dagegen ist das Polynom:
[mm] 8X^3-1 [/mm] in [mm] \IZ[X] [/mm] irreduzibel.
Ansonsten betrachte ich die Aufgabe als gelöst.
Ich hatte mich da beim Überprüfen meines eigenen Ansatzes offensichtlich verrechnet und dachte daher, dass ich auf dem Holzweg bin.
Danke übrigens für deine super Hilfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 19.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> >> (In einem Ring würde die Aussage aber natürlich
> >> auch schlicht und einfach nicht stimmen.)
>
> > Doch, das stimmt genauso in beliebigen kommutativen Ringen
> mit Eins.
> > Wobei man normalerweise einen Integritaetsring voraussetzt,
> wenn man
> > von irreduzibel reden moechte.
>
> Da habe ich, glaube ich ein Gegenbeispiel. Man betrachte
> das Polynom [mm]X^3-8[/mm] in [mm]\IZ[X).[/mm] Es hat ja X=2 als Nullstelle
> und ist daher reduzibel.
>
> Dagegen ist das Polynom:
>
> [mm]8X^3-1[/mm] in [mm]\IZ[X][/mm] irreduzibel.
Ist es nicht: [mm] $X^3 [/mm] - 8 = (X - 2) [mm] (X^2 [/mm] + 2 X + 4)$ und somit $-8 [mm] X^3 [/mm] + 1 = (-2 X + 1) (4 [mm] X^2 [/mm] + 2 X + 1)$.
Also ist $8 [mm] X^3 [/mm] - 1 = (2 X - 1) (4 [mm] X^2 [/mm] + 2 X + 1)$.
LG Felix
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