Irreduzibilitätskriterien < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mo 06.03.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | Untersuche, ob das Polynom f = [mm] x^5+x^4+x^2+x+1 [/mm] irredudibel über [mm] \IQ [/mm] ist. |
Ich habe per Hand ausgerechnet, dass es irreduzibel ist. Die einzigen Möglichkeiten für eine Zerlegung sind kubisches Polynom multipliziert mit quadratischem Polynom, oder Abspalten eines Linaerfaktors. Allerdings ist meine Rechnung sehr sehr umständlich. Gibt es keine leichtere Möglichkeit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mo 06.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anja!
> Untersuche, ob das Polynom f = [mm]x^5+x^4+x^2+x+1[/mm] irredudibel
> über [mm]\IQ[/mm] ist.
> Ich habe per Hand ausgerechnet, dass es irreduzibel ist.
> Die einzigen Möglichkeiten für eine Zerlegung sind
> kubisches Polynom multipliziert mit quadratischem Polynom,
> oder Abspalten eines Linaerfaktors. Allerdings ist meine
> Rechnung sehr sehr umständlich. Gibt es keine leichtere
> Möglichkeit?
Wenn es über Q reduzibel wäre, dann auch schon über Z, da alle Koeffizienten = 1 (bekannter Satz). Eine Zerlegung über Z ergäbe aber eine Zerlegung über Z/2Z. Wenn man also zeigen kann, daß es über Z/2Z irreduzibel ist, dann ist man fertig. Die irreduziblen Polynome über Z/2Z sind aber überschaubar, man kann eine Liste machen (ähnlich wie beim Sieb des Eratosthenes z. B.).
Leider weiß ich nicht, ob dieser Weg zum Ziel führt. Ich muß es selbst probieren, oder jemand nimmt mir die Arbeit ab.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mo 06.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Besagtes Verfahren ist mir unbekannt, das Sieb habe ich mittlerweile in einem Buch nachgeschlagen. So recht weiss ich aber leider immer noch nicht, wie das ganze dann anzugehen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 06.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich schreibe alle Polynome aus [mm] \IZ/2 \IZ [/mm] und streiche die Vielfachen. So gelange ich zu den irreduziblen Polynomen, richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 06.03.2006 | | Autor: | statler |
...Anja, aber du mußt es nicht so machen. Vielleicht hätte ich das mit dem Sieb besser nicht vorgeschlagen? Immerhin hast du was dazugelernt.
Gruß und viel Spaß 
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mo 06.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Doch das ist kürzer als es so zu rechnen, wie ich es gemacht hatte. Zumal ich ja nichmal alle irreduziblen fünften Grades aufzählen brauchte. Daaaaaaaaaaaaankeee :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mo 06.03.2006 | | Autor: | statler |
> Doch das ist kürzer als es so zu rechnen, wie ich es
> gemacht hatte. Zumal ich ja nichmal alle irreduziblen
> fünften Grades aufzählen brauchte. Daaaaaaaaaaaaankeee :)
Da wird einem ja warm ums Herz, ganz liebe Grüße
Dieter
|
|
|
|
