Irreduzible Elemente < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mi 15.07.2009 | | Autor: | martinii |
Hallo,
hab mal wieder eine Frage.
Es geht darum das ich 3-15i in ein Produkt zerlegen soll und begründen soll warum die Faktoren irreduzibel sind und nicht assoziiert sind.
Eine Aufgabe vorher haben wir gezeigt dass die Abb. [mm] N:\IZ \to N_{0},
[/mm]
[mm] N(a+bi)=a^2+b^2 [/mm] ein eukl. Ring ist. Des Weiteren haben wir gezeit, dass N(x)*N(x)=N(xy).
Ich denke das ich dieses bei der Aufgabe anwenden kann.
Ich schreib euch einfach mal das auf was ich bis jetzt habe.
3-15i=3(1-5i).
jetzt muss ich ja beweisen das 3 und 1-5i irreduzibel sind und nicht zueinander ass.
3: N(3+0i)=9
[mm] \to [/mm] 1.Fall N(x)=1 und N(y)=9
N(3+0i)=9 [mm] \to [/mm] b=0
2. Fall N(x)=N(x)=3
[mm] \to a^2+b^2=3 \to a^2 [/mm] oder [mm] b^2 [/mm] =0
b=0 [mm] a^2=3 a=\pm \wurzel{3}
[/mm]
a=0 [mm] b^2=3 b=\pm \wurzel{3}
[/mm]
aber irgendwie hilft mir das doch jetzt nicht weiter oder?
und wie ich das bei 1-5i zeigen kann weiß ich nicht.
dann noch für die assoz. hab ich folgendes:
a~b wenn a|b oder b|a oder a*n=b mit [mm] n\inE(R) \to n=\pm [/mm] 1
3*1=3 aber 3*1 [mm] \not=(1-5i)
[/mm]
3*(-1)=-3 aber [mm] 3*(-1)\not=-(1-5i)
[/mm]
vll könnt ihr mir ja weiterhelfen.
Vielen Danke schon mal
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Do 16.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es geht darum das ich 3-15i in ein Produkt zerlegen soll
> und begründen soll warum die Faktoren irreduzibel sind und
> nicht assoziiert sind.
Du solltest erstmal sagen, in welchem Ring du ueberhaupt rechnest! Vermutlich in [mm] $\IZ[i]$?
[/mm]
> Eine Aufgabe vorher haben wir gezeigt dass die Abb. [mm]N:\IZ \to N_{0},[/mm]
> [mm]N(a+bi)=a^2+b^2[/mm] ein eukl. Ring ist. Des Weiteren haben wir
> gezeit, dass N(x)*N(x)=N(xy).
Die Abbildung soll sicher nicht in [mm] $\IZ$ [/mm] losgehen!
> Ich denke das ich dieses bei der Aufgabe anwenden kann.
>
> Ich schreib euch einfach mal das auf was ich bis jetzt
> habe.
>
> 3-15i=3(1-5i).
Das ist schonmal ein Anfang.
> jetzt muss ich ja beweisen das 3 und 1-5i irreduzibel sind
> und nicht zueinander ass.
Ja, bzw. sie weiter zerlegen falls sie nicht irreduzibel sind.
> 3: N(3+0i)=9
> [mm]\to[/mm] 1.Fall N(x)=1 und N(y)=9
> N(3+0i)=9 [mm]\to[/mm] b=0
Was willst du damit jetzt sagen?
> 2. Fall N(x)=N(x)=3
> [mm]\to a^2+b^2=3 \to a^2[/mm] oder [mm]b^2[/mm] =0
> b=0 [mm]a^2=3 a=\pm \wurzel{3}[/mm]
> a=0 [mm]b^2=3 b=\pm \wurzel{3}[/mm]
Somit Widerspruch, dieser Fall kann also nicht auftreten. Es muss also $N(y) = 9$ sein (oder $N(x) = 9$) und $N(x) = 1$.
In dem Fall solltest du zeigen, dass $x$ eine Einheit ist.
> aber irgendwie hilft mir das doch jetzt nicht weiter oder?
Doch.
> und wie ich das bei 1-5i zeigen kann weiß ich nicht.
Was ist denn $N(1 - 5 i)$? Das ist doch $1 + [mm] 5^2 [/mm] = 26 = 2 [mm] \cdot [/mm] 13$. Gibt es ein Element $x$ in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] mit $N(x) = 2$? Ja, gibt es (sogar vier davon), und zwar [mm] $\pm [/mm] 1 [mm] \pm [/mm] i$. Du kannst leicht pruefen, ob eins davon $1 - 5 i$ teilt. Alternativ: gibt es ein Element mit $N(x) = 13 = 1 + 12 = 4 + 8$, und dies sind alle Moeglichkeiten 13 als ein Quadrat plus eine natuerliche Zalh zu schreiben. Die zweite natuerliche Zahl ist dabei nie ein Quadrat, womit es kein solches $x$ geben kann.
Du siehst also: gilt $1 - 5 i = x [mm] \cdot [/mm] y$, so muss [mm] $\{ N(x), N(y) \} [/mm] = [mm] \{ 1, 26 \}$ [/mm] sein.
> dann noch für die assoz. hab ich folgendes:
>
> a~b wenn a|b oder b|a oder a*n=b mit [mm]n\inE(R) \to n=\pm[/mm] 1
Nein!
$a [mm] \sim [/mm] b$ wenn $(a | b$ UND $b | a)$
oder
$a [mm] \sim [/mm] b$ wenn $a = n b$ mit $n [mm] \in [/mm] E(R)$
Also $n$ ist im Allgemeinen sicher nicht [mm] $\pm [/mm] 1$. Was ist [mm] $E(\IZ[i])$ [/mm] denn ueberhaupt?
LG Felix
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Hi Felix.
viele Dank schon mal für deine Antwort. Hat mir schon mal weiter geholfen.
Wie die genaue Aufgabenstellung lautete weiß ich leider nicht mehr. Deswegen weiß ich nicht in welchen Ring wir sind.
Vll geht auch die Abb. von [mm] \IZ[i] [/mm] los.
> 3: N(3+0i)=9
> [mm] \to [/mm] 1.Fall N(x)=1 und N(y)=9
> N(3+0i)=9 [mm] \to [/mm] b=0
> Was willst du damit jetzt sagen?
Das N(x)=1 [mm] \in E(\IZ[i]) [/mm] und somit dieser Fall ok ist.
[mm] E(\IZ[i]) [/mm] sind die Einheiten von dem Ring der Gausschen Zahlen. also [mm] \pm1 [/mm] und [mm] \pmi [/mm] oder?
> 2. Fall N(x)=N(x)=3[/i]
> [mm] \to a^2+b^2=3 \to a^2 [/mm] oder [mm] b^2 [/mm] =0
> b=0 [mm] a^2=3 a=\pm \wurzel{3}
[/mm]
> a=0 [mm] b^2=3 b=\pm \wurzel{3}
[/mm]
Hier ist a und b [mm] \not\in E(\IZ[i]) [/mm] und deswegen geht dieser Fall hier nicht
> Somit Widerspruch, dieser Fall kann also nicht auftreten.
> Es muss also [mm]N(y) = 9[/mm] sein (oder N(x) = 9) und N(x) = 1
> a~b wenn a|b oder b|a oder a*n=b mit [mm] n\inE(R) \to n=\pm [/mm] 1
> Nein!
> a [mm] \sim [/mm] b wenn (a | b UND b | a)
Habe es falsch vom Heft abgeschrieben. da steht auch ein UND anstatt ein ODER.
Zeige ich die azz. vll so?
3 nicht ass. zu 1-5i denn [mm] 1-5i/(3)\not\in\IZ[i]
[/mm]
1-5i nicht ass. zu 3 denn [mm] 3/(1-5i)\not\in\IZ[i]
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 18.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo felixf,
> > und wie ich das bei 1-5i zeigen kann weiß ich nicht.
>
> Was ist denn [mm]N(1 - 5 i)[/mm]? Das ist doch [mm]1 + 5^2 = 26 = 2 \cdot 13[/mm].
> Gibt es ein Element [mm]x[/mm] in [mm]\IZ[i][/mm] mit [mm]N(x) = 2[/mm]? Ja, gibt es
> (sogar vier davon), und zwar [mm]\pm 1 \pm i[/mm]. Du kannst leicht
> pruefen, ob eins davon [mm]1 - 5 i[/mm] teilt. Alternativ: gibt es
> ein Element mit [mm]N(x) = 13 = 1 + 12 = 4 + 8[/mm], und dies sind
> alle Moeglichkeiten 13 als ein Quadrat plus eine
> natuerliche Zalh zu schreiben. Die zweite natuerliche Zahl
> ist dabei nie ein Quadrat, womit es kein solches [mm]x[/mm] geben
> kann.
Es gibt sehr wohl ein x, denn
[mm]N\left(x\right)=13=4+9=2^{2}+3^{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 05:58 So 19.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo MathePower,
> Es gibt sehr wohl ein x, denn
> [mm]N\left(x\right)=13=4+9=2^{2}+3^{2}[/mm]
oh, das hab ich wohl uebersehen. Danke fuer den Hinweis!
LG Felix
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