Irreduzible / Klausur < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:32 So 10.02.2008 | | Autor: | jocen |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Und diesen Satz habe ich auch schon mal eingefügt. |
Hallo, noch einer wach?
Ich habe Morgen eine Klausur, und wie es so ist, habe ich noch etwas in den Unterlagen gefunden.
Es geht um irreduzible Polynome in mehreren Variablen. ZB soll ich zeigen, dass [mm] x^{8} [/mm] - [mm] y^{9} [/mm] - [mm] y^{3} [/mm] = f in K[X,Y,Z] irreduzibel ist. Dafür soll ich f in K[y][x] oder K[x][y] betrachten. Leider sind meine Unterlagen in diesem Punkt Lückenhaft, und ich weiß nicht was zu tun ist. Kann mir jemand einen Tip geben? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Mo 11.02.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> Und diesen Satz habe ich auch schon mal eingefügt.
>
> Hallo, noch einer wach?
Jau.
> Ich habe Morgen eine Klausur, und wie es so ist, habe ich
> noch etwas in den Unterlagen gefunden.
>
> Es geht um irreduzible Polynome in mehreren Variablen. ZB
> soll ich zeigen, dass [mm]x^{8}[/mm] - [mm]y^{9}[/mm] - [mm]y^{3}[/mm] = f in
> K[X,Y,Z] irreduzibel ist. Dafür soll ich f in K[y][x] oder
> K[x][y] betrachten. Leider sind meine Unterlagen in diesem
> Punkt Lückenhaft, und ich weiß nicht was zu tun ist. Kann
> mir jemand einen Tip geben? Danke
Nehmen wir mal $K = [mm] \IQ$ [/mm] an.
Erstmal: Wende das Reduktionskriterium auf den Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : K[y] [mm] \to [/mm] K$, $y [mm] \mapsto [/mm] 1$ an. Dann reicht es aus zu zeigen, dass [mm] $x^8 [/mm] - 2 [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] irreduzibel ist.
Dazu wendest du den Satz von Gauss an, da dieses Polynom primitiv ist: es reicht also aus zu zeigen, dass [mm] $x^8 [/mm] - 2 [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] irreduzibel ist. Dies ist aber nach Eisenstein der Fall.
Wenn das Polynom z.B. [mm] $x^8 [/mm] - [mm] y^9 [/mm] - [mm] y^8 \in [/mm] K[x,y]$ waere, dann koennte man Eisenstein auf das Polynom in $(K[y])[x]$ anwenden mit dem Primelement $p = y + 1$, da $y + 1$ einmal [mm] $y^8 [/mm] (y + 1)$ teilt, und aber nicht zweimal, und da es keinmal $1$ (den Koeffizienten von [mm] $x^8$) [/mm] teilt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Di 12.02.2008 | | Autor: | jocen |
Jo, Danke. Es kam zwar nicht dran, hat aber meine Nerven beruhigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 13.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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