Irreduzible Polynome? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Zeige, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind:
(i) [mm] X^{14} [/mm] + 287 [mm] X^{12} [/mm] - 161 [mm] X^{7} [/mm] + 245 [mm] X^{2} [/mm] - 259 in [mm] \IZ[X],
[/mm]
(ii) [mm] Y^{2000} [/mm] + 17 [mm] X^{10}Y^{2}Z^{14} [/mm] - 26 Z in [mm] \IC[X,Y,Z],
[/mm]
(iii) [mm] X^{29} [/mm] + 17 in [mm] \IQ[X],
[/mm]
(iv) [mm] Z^{3}Y^{3} [/mm] - 3 [mm] Y^{3} Z^{2} [/mm] + [mm] 3ZY^{3} [/mm] + [mm] Z^{2}Y^{2} [/mm] + Z - 1 - [mm] Y^{3} [/mm] - [mm] 2ZY^{2} [/mm] + [mm] Y^{2} [/mm] + [mm] Y^{4} [/mm] in [mm] \IZ[Y,Z] [/mm] |
Hallo,
ich hab Probleme bei der Lösung dieser Aufgabe.
Ich hab bis jetzt nur die (i) lösen können. Da habe ich das Eisenstein-Kriterium angewandt und habe ein irreduzibles [mm] \pi \in \IZ [/mm] gefunden, dass die geforderten Eigenschaften im Eisenstein-Kriterium erfüllt.
(Eisenstein-Kriterium: Sei R ein faktorieller Ring. Sei P = [mm] a_{n} X^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1} X^{n-1} [/mm] + ...+ [mm] a_{0} \in [/mm] R[X]. Annahme: [mm] \exists \pi \in [/mm] R mit
a) [mm] \pi [/mm] teilt nicht [mm] a_{n}
[/mm]
b) [mm] \pi [/mm] teilt [mm] a_{i} \forall [/mm] i [mm] \le [/mm] n-1
c) [mm] \pi^{2} [/mm] teilt nicht [mm] a_{0}
[/mm]
Dann ist P irreduzibel in K[X], wobei K der Quotientenring von R ist.
Wenn P primitiv ist, ist P auch irreduzibel in R[X]. )
Bei (i) habe ich [mm] \pi [/mm] = 7. 7 ist in [mm] \IZ [/mm] ein irreduzibles Element, und da das Polynom primitiv ist, ist es irreduzibel in [mm] \IZ[X].
[/mm]
Bei der (ii) und (iv) weiß ich nicht genau, wie ich es machen soll, weil mich die vielen Buchstaben verwirren, wie bei [mm] \IZ[Y,Z] [/mm] und [mm] \IC[X,Y,Z]. [/mm] Kann man hier auch das Eisenstein-Kriterium anwenden? Muss ich immer eine Variable betrachten und die anderen festhalten? Ich weiß nicht genau, wie ich da vorgehen soll. Wie es denn gemeint, wenn mehrere Variablen auftauchen?
Ich hoffe es kann mir das jemand genauer erläutern.
Bei der (ii) bin ich mir auch nicht sicher. Ich finde kein [mm] \pi \in \IQ, [/mm] das die geforderten Eigenschaften erfüllt vom Eisenstein-Kriterium. Ich hab für [mm] \pi [/mm] 17 genommen, aber das kann nicht stimmen, weil [mm] \pi^{2} [/mm] = 289 die 17 teilt in [mm] \IQ, [/mm] und das darf ja nicht sein.
Aber ich weiß nicht, wie ich das sonst machen soll.
Ich hoffe, dass mir da jemand weiter helfen könnte. Das wäre sehr nett!
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mo 01.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Forum,
kann mir bitte jemand bei der Aufgabe weiter helfen? Denn ich komm nicht weiter, weil ich nicht genau weiß, wie ich das lösen soll, wenn mehrere Variablen X,Y, Z im Polynom vorkommen. Wie kann man hier das Eisenstein-Kriterium anwenden oder geht das auch ohne, um zu zeigen, dass die Polynome irreduzibel sind?
Ich hab bei der (i) das Eisenstein-Kriterium angewandt? Stimmt das so?
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen. Das wäre sehr nett 
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Di 02.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Moe
zu (ii) [mm] $\IC[X,Y,Z]$ [/mm] kann man auch Polynomring in der Variablen Y mit Koeffizienten aus [mm] $\IC[X,Z]$ [/mm] auffassen (siehe auch hier).
Es gilt dann $ [mm] Y^{2000} [/mm] + [mm] \underbrace{17 X^{10}Z^{14}}_{a_2}Y^{2} \underbrace{- 26 Z}_ {a_0}$ [/mm] und du kannst Eisenstein mit [mm] $\pi=Z$ [/mm] anwenden.
zu (iii) Ich glaube es gilt das sogenannte Gausssche Lemma: Faktoriert ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten über [mm] $\IQ[x]$, [/mm] so faktorisiert es schon über [mm] $\IZ[X]$. [/mm] Du kannst daher Eisenstein mit [mm] $\pi=19$ [/mm] in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] anwenden.
zu (iv) Wahrscheinlich ähnlich wie (ii)
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Di 02.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo moudi,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
> zu (ii) [mm]\IC[X,Y,Z][/mm] kann man auch Polynomring in der
> Variablen Y mit Koeffizienten aus [mm]\IC[X,Z][/mm] auffassen (siehe
> auch hier).
Darf man hier einfach die Reihenfolge der Buchstaben vertauschen, wie ich das hier sehe oder? D.h. man kann sich es aussuchen, welchen Buchstaben man als Variable nimmt und welche als Koeffizienten oder?
> Es gilt dann [mm]Y^{2000} + \underbrace{17 X^{10}Z^{14}}_{a_2}Y^{2} \underbrace{- 26 Z}_ {a_0}[/mm]
> und du kannst Eisenstein mit [mm]\pi=Z[/mm] anwenden.
>
> zu (iii) Ich glaube es gilt das sogenannte Gausssche Lemma:
> Faktoriert ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten über
> [mm]\IQ[x][/mm], so faktorisiert es schon über [mm]\IZ[X][/mm]. Du kannst
> daher Eisenstein mit [mm]\pi=19[/mm] in [mm]\IZ[x][/mm] anwenden.
Heißt das, dass ich das Polynom [mm] X^{29} [/mm] + 17 in [mm] \IZ[X] [/mm] betrachten darf, statt in [mm] \IQ[X]? [/mm] Aber dann ist das Polynom doch irreduzibel in [mm] \IZ[X], [/mm] und nicht so wie in der Angabe verlangt in [mm] \IQ[X]. [/mm]
Das mit dem Gaußschen Lemma hab ich leider nicht so richtig verstanden. Ich hoffe, du kannst es mir nochmal erläutern. Wir haben auch schon das Gaußsche Lemma behandelt, aber das besagt, was ganz anderes:
Sei R ein faktorieller Ring. Seien P,Q primitive Polynome [mm] \in [/mm] R[X]. Dann ist auch PQ primitiv.
>
> zu (iv) Wahrscheinlich ähnlich wie (ii)
Da hab ich zuerst das Poynom geordnet nach den Variablen:
Ich betrachte den Polynomring [mm] \IZ[Y][Z].
[/mm]
[mm] Y^{3}Z^{3} [/mm] + [mm] (-3Y^{3} [/mm] + [mm] Y^{2})Z^{2} [/mm] + [mm] (3Y^{3} [/mm] + 1 - [mm] 2Y^{2})Z [/mm] + (-1 - [mm] Y^{3} [/mm] + [mm] Y^{2} [/mm] + [mm] Y^{4}) [/mm] Z
Dann wäre [mm] a_{3} [/mm] = [mm] Y^{3}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] -3Y^{3} [/mm] + [mm] Y^{2}
[/mm]
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] 3Y^{3} [/mm] + 1 - [mm] 2Y^{2}
[/mm]
[mm] a_{0} [/mm] = 1 - [mm] Y^{3} [/mm] + [mm] Y^{2} [/mm] + [mm] Y^{4})
[/mm]
Jetzt muss ich doch ein [mm] \pi \in \Z[Y] [/mm] finden, das irreduzibel ist und die Eigenschaften vom Eisenstein-Kriterium erfüllt.
Aber ich finde leider kein passendes [mm] \pi, [/mm] das [mm] a_{3} [/mm] nicht teilt, aber die restlichen [mm] a_{i}, [/mm] i [mm] \le [/mm] 2 teilt, und [mm] \pi^{2} a_{0} [/mm] nicht teilt.
Hab auch schon mehrere Polynomdivisionen durchgeführt, aber noch nix gefunden.
Ich hoffe, du hilfst mir da weiter.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mi 03.01.2007 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi,
Hallo moe
> erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
>
> > zu (ii) [mm]\IC[X,Y,Z][/mm] kann man auch Polynomring in der
> > Variablen Y mit Koeffizienten aus [mm]\IC[X,Z][/mm] auffassen (siehe
> > auch hier).
>
> Darf man hier einfach die Reihenfolge der Buchstaben
> vertauschen, wie ich das hier sehe oder? D.h. man kann sich
> es aussuchen, welchen Buchstaben man als Variable nimmt und
> welche als Koeffizienten oder?
Yep !
>
> > Es gilt dann [mm]Y^{2000} + \underbrace{17 X^{10}Z^{14}}_{a_2}Y^{2} \underbrace{- 26 Z}_ {a_0}[/mm]
> > und du kannst Eisenstein mit [mm]\pi=Z[/mm] anwenden.
> >
> > zu (iii) Ich glaube es gilt das sogenannte Gausssche Lemma:
> > Faktoriert ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten über
> > [mm]\IQ[x][/mm], so faktorisiert es schon über [mm]\IZ[X][/mm]. Du kannst
> > daher Eisenstein mit [mm]\pi=19[/mm] in [mm]\IZ[x][/mm] anwenden.
>
> Heißt das, dass ich das Polynom [mm]X^{29}[/mm] + 17 in [mm]\IZ[X][/mm]
> betrachten darf, statt in [mm]\IQ[X]?[/mm] Aber dann ist das Polynom
> doch irreduzibel in [mm]\IZ[X],[/mm] und nicht so wie in der Angabe
> verlangt in [mm]\IQ[X].[/mm]
>
> Das mit dem Gaußschen Lemma hab ich leider nicht so richtig
> verstanden. Ich hoffe, du kannst es mir nochmal erläutern.
> Wir haben auch schon das Gaußsche Lemma behandelt, aber das
> besagt, was ganz anderes:
>
> Sei R ein faktorieller Ring. Seien P,Q primitive Polynome
> [mm]\in[/mm] R[X]. Dann ist auch PQ primitiv.
Meine Behauptung ist eine Konsequenz deiner allgemeineren Version des Gaussschen Lemma.
Sei [mm] $p(x)\in\IZ[x]$ [/mm] mit p(x)=q(x)r(x) mit [mm] $q(x),r(x)\in\IQ[x]$. [/mm] Dann gibt es [mm] $a,b\in\IQ$ [/mm] und [mm] $c\in\IZ$, [/mm] primitive Polynome [mm] $\tilde p(x),\tilde [/mm] q(x), [mm] \tilde r(x)\in\IZ[x]$ [/mm] so, dass [mm] $p(x)=c\tilde [/mm] p(x)$, [mm] $q(x)=a\tilde [/mm] q(x)$, [mm] $r(x)=b\tilde [/mm] r(x)$.
Setzt man alles ein und dividiert die Gleichung durch ab so erhält man:
[mm] $\frac{c}{ab}\tilde p(x)=\tilde q(x)\tilde [/mm] r(x)$. Nach dem Gaussschen Lemma ist [mm] $\tilde q(x)\tilde [/mm] r(x)$ ein primitives Polynom, dass zusätzlich ein rationales Vielfaches, des primitiven Polynoms [mm] $\tilde [/mm] p(x)$ ist. Da primitive Polynome einedeutig sind (wenn z.B. verlangt, dass die Leitkoeffizienten positiv sind), so gilt [mm] $\frac{c}{ab}=1$, [/mm] d.h. [mm] $ab=c\in\IZ$.
[/mm]
Damit haben wir die Zerlegung in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] gefunden:
[mm] $p(x)=\underbrace{ab\tilde q(x)}_{\in\IZ[x]}\underbrace{\tilde r(x)}_{\in\IZ[x]}$
[/mm]
>
>
> >
> > zu (iv) Wahrscheinlich ähnlich wie (ii)
>
> Da hab ich zuerst das Poynom geordnet nach den Variablen:
> Ich betrachte den Polynomring [mm]\IZ[Y][Z].[/mm]
>
> [mm]Y^{3}Z^{3}[/mm] + [mm](-3Y^{3}[/mm] + [mm]Y^{2})Z^{2}[/mm] + [mm](3Y^{3}[/mm] + 1 -
> [mm]2Y^{2})Z[/mm] + (-1 - [mm]Y^{3}[/mm] + [mm]Y^{2}[/mm] + [mm]Y^{4})[/mm] Z
>
> Dann wäre [mm]a_{3}[/mm] = [mm]Y^{3}[/mm]
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]-3Y^{3}[/mm] + [mm]Y^{2}[/mm]
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]3Y^{3}[/mm] + 1 - [mm]2Y^{2}[/mm]
> [mm]a_{0}[/mm] = 1 - [mm]Y^{3}[/mm] + [mm]Y^{2}[/mm] + [mm]Y^{4})[/mm]
>
> Jetzt muss ich doch ein [mm]\pi \in \Z[Y][/mm] finden, das
> irreduzibel ist und die Eigenschaften vom
> Eisenstein-Kriterium erfüllt.
> Aber ich finde leider kein passendes [mm]\pi,[/mm] das [mm]a_{3}[/mm] nicht
> teilt, aber die restlichen [mm]a_{i},[/mm] i [mm]\le[/mm] 2 teilt, und
> [mm]\pi^{2} a_{0}[/mm] nicht teilt.
> Hab auch schon mehrere Polynomdivisionen durchgeführt, aber
> noch nix gefunden.
Du hast die falsche Variante gewählt:
[mm] $Y^4+(Z^3-3Z^2+3Z-1)Y^3+(Z^2-2Z+1)Y^2 [/mm] +(Z-1)$ und [mm] $\pi=Z-1$.
[/mm]
mfG Moudi
>
> Ich hoffe, du hilfst mir da weiter.
>
> Viele Grüße,
> Moe
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo moudi!
vielen Dank für deine Antwort.
Mir ist nun alles bis auf das mit dem Gaußschen Lemma klar. Den Beweis zur Zerlegung in [mm] \IZ[X] [/mm] hab ich auch verstanden. Meine Frage ist nun:
Kann ich das Polynom [mm] X^{29} [/mm] + 17 nun in [mm] \IZ[X] [/mm] betrachten statt in [mm] \IQ[X], [/mm] oder muss ich erstmal so eine Zerlegung p(x) = ab [mm] \overline{q}(x) \overline{r}(x) [/mm] finden, wo [mm] \overline{q}(x) [/mm] und [mm] \overline{r}(x) [/mm] primitiv sind? Wenn ja, wie finde ich so eine konkrete Zerlegung?
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 03.01.2007 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi!
Hallo Moe
> vielen Dank für deine Antwort.
> Mir ist nun alles bis auf das mit dem Gaußschen Lemma
> klar. Den Beweis zur Zerlegung in [mm]\IZ[X][/mm] hab ich auch
> verstanden. Meine Frage ist nun:
> Kann ich das Polynom [mm]X^{29}[/mm] + 17 nun in [mm]\IZ[X][/mm] betrachten
> statt in [mm]\IQ[X],[/mm]
Ja das ist genau der Punkt!
>oder muss ich erstmal so eine Zerlegung
> p(x) = ab [mm]\overline{q}(x) \overline{r}(x)[/mm] finden, wo
> [mm]\overline{q}(x)[/mm] und [mm]\overline{r}(x)[/mm] primitiv sind? Wenn ja,
> wie finde ich so eine konkrete Zerlegung?
>
> Viele Grüße,
mfG Moudi
>
> Moe
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