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Hallo,
habe eine Verständnisfrage, zur Irreduzibilität und reduzibilität von Elementen. Es heißt ja, ein Element p ist irreduzibel, wenn aus p=a*b folgt, dass a oder b eine Einheit vom Ring ist. Und ein Element p ist reduzibel, wenn es als Produkt von 2 Nichteinheiten geschrieben werden kann.
Aber was ist, wenn a und b Einheiten sind, ist dann p irreduzibel oder reduzibel. Ich hätte gesagt, dass es irreduzibel ist, aber wir haben folgendes Beispiel:
[mm] 2=2*x^0 [/mm] ist reduzibel in Q[x]. 2 und [mm] x^0=1 [/mm] sind ja beides Einheiten in Q[x]. Oder ist das falsch.
Und sind Einheiten immer reduzibel oder irreduzibel? Würde mich über eine Antwort sehr freuen. Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin Blackbull,
Reduziblität bzw. Irreduziblität ist nur für Nichteinheiten definiert.
Also sei $R$ ein kommutativer Ring, $x [mm] \in [/mm] R$ keine Einheit und $x [mm] \neq [/mm] 0$.
Dann heißt $x$ reduzibel, wenn aus $x=a*b$ folgt $a$ ist Einheit oder $b$ ist Einheit in $R$.
Da $2 [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] eine Einheit ist, ist reduzibel oder nicht garnicht dafür definiert.
Sind in deinem anderen Beispiel $a$ und $b$ beides Einheiten, so ist $p=ab$ auch eine Einheit, also ist auch hier der Begriff sinnlos.
lg
Schadow
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Danke für die schnelle Antwort =)
p ist irreduzibel, wenn a oder b eine Einheit ist oder? nicht reduzibel.
Aber woher weiß man dann, dass 2 in Q[x] reduzibel ist.
Wir haben geschrieben, das Polynom [mm] 2=2*x^0 [/mm] ist irreduzibel in Z[x], aber nicht in Q[x]. Muss man doch iwie zeigen können.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 08.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die schnelle Antwort =)
> p ist irreduzibel, wenn a oder b eine Einheit ist oder?
> nicht reduzibel.
Naja, wenn $p = a b$ ist und $a$ oder $b$ eine Einheit ist, dann sagt das erstmal nicht viel ueber $p$ aus. Du kannst immer $p = 1 [mm] \cdot [/mm] p$ schreiben z.B.
Wenn aus $p = a b$ folgt, dass immer entweder $a$ oder $b$ eine Einheit ist, dann ist $p$ irreduzibel.
> Aber woher weiß man dann, dass 2 in Q[x] reduzibel ist.
Ist es gar nicht. Es ist dort eine Einheit.
> Wir haben geschrieben, das Polynom [mm]2=2*x^0[/mm] ist irreduzibel
> in Z[x], aber nicht in Q[x]. Muss man doch iwie zeigen
> können.
In [mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist es irreduzibel (da $2$ ein Primelement in [mm] $\IZ$ [/mm] ist, ist es auch ein Primelement in [mm] $\IZ[x]$, [/mm] und damit irreduzibel). In [mm] $\IQ[x]$ [/mm] ist es eine Einheit.
LG Felix
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Des heißt, man weiß nicht oder es interessiert nicht, ob eine Einheit reduzibel oder irreduziebel ist.
Wir haben noch ein zweites Bsp, nur nochmal, ob ichs richtig verstanden habe.
Das Polynom 2x+2=2(x+1) ist irreduzibel in Q[x], aber nicht in Z[x].
Irreduzibel ist es in Q[x] weil 2 eine Einheit ist und x+1 nicht. Und es ist reduzibel in Z[x], weil 2 und x+1 Nichteinheiten sind. Stimmt das?
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> Des heißt, man weiß nicht oder es interessiert nicht, ob
> eine Einheit reduzibel oder irreduziebel ist.
genau
> Wir haben noch ein zweites Bsp, nur nochmal, ob ichs
> richtig verstanden habe.
> Das Polynom 2x+2=2(x+1) ist irreduzibel in Q[x], aber
> nicht in Z[x].
> Irreduzibel ist es in Q[x] weil 2 eine Einheit ist und x+1
> nicht.
Und $x+1$ ist irreduzibel, das sollte man nicht vergessen.
> Und es ist reduzibel in Z[x], weil 2 und x+1 Nichteinheiten sind. Stimmt das?
Stimmt genau.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Blackbull |
Danke für die Hilfe =)
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