Irreduzibles Element bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 03.12.2012 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie in [mm] \IZ[\wurzel{-13}] [/mm] ein irreduzibles Element, dass kein Primelement ist. |
Hallo!
Kurz und knackig:
In der Vorlesung wurde die Behauptung " 2 ist irreduzibel aber kein Primelement in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] " bewiesen, indem beide Definitionen geprüft wurden. Dies kann ich nachvollziehen und habe auch andere Beispiele nachgeprüft, um das Verständnis zu festigen. Leider kommt mir nun bei dieser Aufgabe keine Idee, wie ich möglichst schlau ein irreduzibles Element von [mm] \IZ[\wurzel{-13}] [/mm] finde, welches kein Primelement ist, ohne zufällig irgendwelche Elemente auf die Definitionen hin zu überprüfen?!
Vielen Dank für alle Anregungen, Lösungsvorschläge etc.!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Di 04.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen Sie in [mm]\IZ[\wurzel{-13}][/mm] ein irreduzibles
> Element, dass kein Primelement ist.
>
> Kurz und knackig:
> In der Vorlesung wurde die Behauptung " 2 ist irreduzibel
> aber kein Primelement in [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm] " bewiesen, indem
> beide Definitionen geprüft wurden. Dies kann ich
> nachvollziehen und habe auch andere Beispiele nachgeprüft,
> um das Verständnis zu festigen. Leider kommt mir nun bei
> dieser Aufgabe keine Idee, wie ich möglichst schlau ein
> irreduzibles Element von [mm]\IZ[\wurzel{-13}][/mm] finde, welches
> kein Primelement ist, ohne zufällig irgendwelche Elemente
> auf die Definitionen hin zu überprüfen?!
Kennst du die Normfunktion? Auf [mm] $\IZ[\sqrt{D}]$ [/mm] kannst du $N : [mm] \IQ[\sqrt{D}] \to \IZ$, [/mm] $x + y [mm] \sqrt{D} \mapsto x^2 [/mm] - [mm] D^2 y^2 [/mm] = (x + y [mm] \sqrt{D}) [/mm] (x - y [mm] \sqrt{D}) [/mm] = |x + y [mm] \sqrt{D}|^2$ [/mm] definieren. Diese Abbildung ist multiplikativ und bildet nur 0 auf 0 selber ab.
Falls $D < 0$ ist, wie etwa hier bei $D = -13$, kommen sogar nur natuerliche Zahlen heraus. Hier ist die Abbildung $x + y [mm] \sqrt{-13} \mapsto x^2 [/mm] + 13 [mm] y^2$.
[/mm]
Weiterhin kannst du dir ueberlegen, dass diese Abbildung nur bei Werten $x + y [mm] \sqrt{D}$ [/mm] den Wert [mm] $\pm [/mm] 1$ annimmt, wenn diese Werte Einheiten sind. Damit folgt dann direkt: ist $N(x + y [mm] \sqrt{D})$ [/mm] eine Primzahl (bzw. das Negative davon), so ist $x + y [mm] \sqrt{D}$ [/mm] irreduzibel in [mm] $\IZ[\sqrt{D}]$.
[/mm]
Finde also $x, y$ so, dass $N(x + y [mm] \sqrt{D})$ [/mm] das Produkt zweier moeglichst kleiner Primzahlen ist, sagen wir $p [mm] \cdot [/mm] q$. Wenn $D < 0$ und wenn $p, q < |D|$ ist, dann gibt es keine $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $N(a + b [mm] \sqrt{D}) [/mm] = p$ oder $= q$: daraus folgt, dass $p$ und $q$ in [mm] $\IZ[\sqrt{D}]$ [/mm] irreduzibel sind (warum?).
Meist ist es nun so, dass $p$ und $q$ keine Primelemente sind. Gib dafuer vom Produkt $p [mm] \cdot [/mm] q$ eine andere Zerlegung an, die nicht mit der urspruenglichen assoziiert ist.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:24 Di 04.12.2012 | | Autor: | johnny23 |
Vielen Dank!
Sorry, ich hatte vergessen zu erwähnen, dass mir die Norm bekannt ist und auch beim genannten Beweis so definiert wurde.
Also ich denke, dass ich den ersten Teil deiner Antwort nachvollziehen kann. Lass es mich versuchen..
Ich suche mir also ein Element aus [mm] \IZ[\wurzel{-13}] [/mm] dessen Norm [mm] N(x+y\wurzel{-13})=x^2+13y^2 [/mm] das Produkt zweier Primzahlen ergibt. Wenn diese Primzahlen p,q jeweils kleiner als 13, dann ist dieses Element irreduzibel.
So dann gibt es zB die Elemente [mm] 1+\wurzel{-13} [/mm] mit [mm] N(1+\wurzel{-13})=14 [/mm] oder [mm] 3+\wurzel{-13} [/mm] mit [mm] N(3+\wurzel{-13})=22. [/mm] Meines Erachtens sind diese irreduzibel (beide Elemente lassen sich nur als Produkt darstellen, wenn ein Element eine Einheit ist).
So nun suche ich im ersten Fall zB eine Darstellung 14*x=y sodass ich y als Produkt zweier Elemente aus [mm] \IZ[\wurzel{-13}] [/mm] darstellen kann, die 14 nicht teilt.
In der Art: 14*14=196 --> [mm] 1+\wurzel{-13} [/mm] teilt also [mm] (1+\wurzel{-13})*(1+\wurzel{-13}) [/mm] (hier natürlich auch jeden Faktor).
Leider gelingt mir das nicht! Sind die Elemente nun prim oder steh ich einfach auf dem Schlauch?
Weiter habe ich mich gefragt, warum ich nicht einfach das Element [mm] \wurzel{-13} [/mm] mit [mm] N(\wurzel{-13})=13 [/mm] wählen kann. Dies wäre sofort irreduzibel, da 13 eine Primzahl ist. Leider finde ich auch hier kein Produkt, welches 13 teilt, die Faktoren aber nicht.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Di 04.12.2012 | | Autor: | johnny23 |
Alles klaro.. nach ein wenig Überlegen konnte ich zeigen, dass das Element [mm] 1+\wurzel{-13} [/mm] mit [mm] N(1+\wurzel{-13})=14 [/mm] irreduzibel und kein Primelement ist, da z.B. 14*77=1078=22*49 gilt. 14 teilt dann 1078 aber weder 22 noch 49. 22 und 49 lassen sich dann als die Elemente [mm] 3+\wurzel{-13} [/mm] bzw. [mm] 7+\wurzel{-13} [/mm] darstellen. Ich hoffe, dies ist korrekt.
Vielen Dank nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Di 04.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Alles klaro.. nach ein wenig Überlegen konnte ich zeigen,
> dass das Element [mm]1+\wurzel{-13}[/mm] mit [mm]N(1+\wurzel{-13})=14[/mm]
> irreduzibel und kein Primelement ist, da z.B.
> 14*77=1078=22*49 gilt. 14 teilt dann 1078 aber weder 22
> noch 49.
Du musst aber zeigen, dass [mm] $1+\sqrt{-13}$ [/mm] kein Teiler von 22 und kein Teiler von 49 ist. Das folgt aber daraus, dass 14 kein Teiler von [mm] $22^2$ [/mm] und keiner von [mm] $49^2$ [/mm] ist.
Es geht aber noch etwas einfacher 
Und zwar ist ja $2 [mm] \cdot [/mm] 7 = 14 = (1 + [mm] \sqrt{-13}) \cdot [/mm] (1 - [mm] \sqrt{-13})$.
[/mm]
Jetzt kann $1 + [mm] \sqrt{-13}$ [/mm] weder ein Teiler von 2 noch von 7 sein, da $N(2) = [mm] 2^2$ [/mm] und $N(7) = [mm] 7^2$ [/mm] nicht durch $N(1 + [mm] \sqrt{-13}) [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] 7$ teilbar ist. Damit ist $1 + [mm] \sqrt{-13}$ [/mm] nicht prim.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 08.12.2012 | | Autor: | triad |
hallo.
> Weiterhin kannst du dir ueberlegen, dass diese Abbildung
> nur bei Werten [mm]x + y \sqrt{D}[/mm] den Wert [mm]\pm 1[/mm] annimmt, wenn
> diese Werte Einheiten sind. Damit folgt dann direkt: ist
> [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] eine Primzahl (bzw. das Negative davon),
> so ist [mm]x + y \sqrt{D}[/mm] irreduzibel in [mm]\IZ[\sqrt{D}][/mm].
>
> Finde also [mm]x, y[/mm] so, dass [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] das Produkt
> zweier moeglichst kleiner Primzahlen ist, sagen wir [mm]p \cdot q[/mm].
> Wenn [mm]D < 0[/mm] und wenn [mm]p, q < |D|[/mm] ist, dann gibt es keine [mm]a, b \in \IZ[/mm]
> mit [mm]N(a + b \sqrt{D}) = p[/mm] oder [mm]= q[/mm]: daraus folgt, dass [mm]p[/mm]
> und [mm]q[/mm] in [mm]\IZ[\sqrt{D}][/mm] irreduzibel sind (warum?).
>
> Meist ist es nun so, dass [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] keine Primelemente sind.
> Gib dafuer vom Produkt [mm]p \cdot q[/mm] eine andere Zerlegung an,
> die nicht mit der urspruenglichen assoziiert ist.
>
> LG Felix
>
> Damit folgt dann direkt: ist
> [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] eine Primzahl (bzw. das Negative davon),
> so ist [mm]x + y \sqrt{D}[/mm] irreduzibel in [mm]\IZ[\sqrt{D}][/mm].
>
> Finde also [mm]x, y[/mm] so, dass [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] das Produkt
> zweier moeglichst kleiner Primzahlen ist
Wenn $N(x + y [mm] \sqrt{D})$ [/mm] eine Primzahl ist, gibt es doch gar keine Primzahlen a,b so, dass $N(x + y [mm] \sqrt{D})$ [/mm] = [mm] a\cdot{b}, [/mm] denn das Produkt zweier Primzahlen gibt nicht wieder eine Primzahl.
Kannst du das nochmal am Bsp. [mm] \IZ[\wurzel{-3}] [/mm] erklären? Ich finde hier keine x,y so dass sich $N(x + y [mm] \sqrt{-3})$ [/mm] als Produkt zweier Primzahlen schreiben lässt. Da kommen immer nur selber Primzahlen oder Vielfache von 4 heraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 09.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Damit folgt dann direkt: ist
> > [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] eine Primzahl (bzw. das Negative davon),
> > so ist [mm]x + y \sqrt{D}[/mm] irreduzibel in [mm]\IZ[\sqrt{D}][/mm].
> >
> > Finde also [mm]x, y[/mm] so, dass [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] das Produkt
> > zweier moeglichst kleiner Primzahlen ist
$x$ und $y$ in den beiden Aussagen sind verschiedene $x$ und $y$. Deswegen ist das hier:
> Wenn [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] eine Primzahl ist, gibt es doch gar
> keine Primzahlen a,b so, dass [mm]N(x + y \sqrt{D})[/mm] =
> [mm]a\cdot{b},[/mm] denn das Produkt zweier Primzahlen gibt nicht
> wieder eine Primzahl.
kein Widerspruch zu dem, was ich schrieb.
> Kannst du das nochmal am Bsp. [mm]\IZ[\wurzel{-3}][/mm] erklären?
> Ich finde hier keine x,y so dass sich [mm]N(x + y \sqrt{-3})[/mm]
> als Produkt zweier Primzahlen schreiben lässt. Da kommen
> immer nur selber Primzahlen oder Vielfache von 4 heraus.
Dann probier es doch etwas flexibler. Such etwa $x, y$ mit $N(x + y [mm] \sqrt{-3}) [/mm] = 12$. Vielleicht geht es damit ja auch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 09.12.2012 | | Autor: | triad |
Hallo.
Ok, ich glaube ich habe es einigermaßen hinbekommen.
Also nochmal, z.z. ist: [mm] R_1=\IZ[\sqrt{-3}] [/mm] ist kein ZPE-Ring, es gibt also ein irred. Element gibt, was kein Primelement ist.
Bew.: Beh.: [mm] 3+\sqrt{-3} [/mm] ist irreduzibel in [mm] $R_1$. [/mm] Sei [mm] 3+\sqrt{-3}=x\cdot{y}, $x,y\in R_1$, [/mm] dann 4 = [mm] N(3+\sqrt{-3}) [/mm] = [mm] N(x)\cdot{N(y)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow N(x),N(y)\in\{1,2,4\},
[/mm]
[mm] a^2+3b^2 [/mm] = N(x) = 2 geht nicht, also z.B. N(x)=1: $1 = [mm] a^2+3b^2$ \gdw [/mm] $b=0 [mm] \wedge a=\pm [/mm] 1$, also [mm] $x=\pm 1\in R_1^{\times}$, [/mm] also [mm] 3+\sqrt{-3} [/mm] irreduzibel.
Beh.: [mm] 3+\sqrt{-3} [/mm] ist kein Primelement. $ 3*4 = 12 = [mm] (3+\sqrt{-3})(3-\sqrt{-3}) [/mm] $, also [mm] $3+\sqrt{-3}\mid [/mm] 3*4$, aber [mm] $3+\sqrt{-3} \nmid [/mm] 3$: wenn [mm] 3=3+\sqrt{-3}*x, x\in R_1, [/mm] norm: $9 = [mm] 12\cdot{\underbrace{N(x)}_{\in \IZ}}$ [/mm] geht nicht.
Analog: [mm] $3+\sqrt{-3} \nmid [/mm] 4$: wenn [mm] 4=3+\sqrt{-3}*y, y\in R_1, [/mm] norm: $16 = [mm] 12\cdot{\underbrace{N(y)}_{\in \IZ}}$ [/mm] geht nicht. Also ist [mm] 3+\sqrt{-3} [/mm] kein Primelement.
Ich hoffe das klappt so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 09.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, ich glaube ich habe es einigermaßen hinbekommen.
>
> Also nochmal, z.z. ist: [mm]R_1=\IZ[\sqrt{-3}][/mm] ist kein
> ZPE-Ring, es gibt also ein irred. Element gibt, was kein
> Primelement ist.
>
> Bew.: Beh.: [mm]3+\sqrt{-3}[/mm] ist irreduzibel in [mm]R_1[/mm]. Sei
> [mm]3+\sqrt{-3}=x\cdot{y},[/mm] [mm]x,y\in R_1[/mm], dann 4 = [mm]N(3+\sqrt{-3})[/mm]
Moment! $3 + [mm] \sqrt{-3}$ [/mm] hat die Norm [mm] $3^2 [/mm] + 3 [mm] \cdot 1^2 [/mm] = 12$ und nicht 4. (Irreduzibel ist es aber trotzdem, du musst dir ueberlegen dass ein Element der Norm 3 kein Teiler von $3 + [mm] \sqrt{-3}$ [/mm] sein kann.)
Oder meinst du vielleicht das Element $1 + [mm] \sqrt{-3}$? [/mm] Dieses Element hat die Norm 4.
> = [mm]N(x)\cdot{N(y)}[/mm]
> [mm]\Rightarrow N(x),N(y)\in\{1,2,4\},[/mm]
> [mm]a^2+3b^2[/mm] = N(x) = 2
> geht nicht, also z.B. N(x)=1: [mm]1 = a^2+3b^2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]b=0 \wedge a=\pm 1[/mm],
> also [mm]x=\pm 1\in R_1^{\times}[/mm], also [mm]3+\sqrt{-3}[/mm]
> irreduzibel.
Genau. (Bis auf die falsche Norm :) )
> Beh.: [mm]3+\sqrt{-3}[/mm] ist kein Primelement. [mm]3*4 = 12 = (3+\sqrt{-3})(3-\sqrt{-3}) [/mm],
> also [mm]3+\sqrt{-3}\mid 3*4[/mm], aber [mm]3+\sqrt{-3} \nmid 3[/mm]: wenn
> [mm]3=3+\sqrt{-3}*x, x\in R_1,[/mm]
Hier brauchst du Klammern! Also $3 = (3 + [mm] \sqrt{-3}) \cdot [/mm] x$, $x [mm] \in R_1$.
[/mm]
> norm: [mm]9 = 12\cdot{\underbrace{N(x)}_{\in \IZ}}[/mm]
> geht nicht.
Genau.
> Analog: [mm]3+\sqrt{-3} \nmid 4[/mm]: wenn [mm]4=3+\sqrt{-3}*y, y\in R_1,[/mm]
> norm: [mm]16 = 12\cdot{\underbrace{N(y)}_{\in \IZ}}[/mm] geht nicht.
> Also ist [mm]3+\sqrt{-3}[/mm] kein Primelement.
Genau.
> Ich hoffe das klappt so.
Bis auf den Beweis, dass $3 + [mm] \sqrt{-3}$ [/mm] irreduzibel ist, ging's super
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:22 Mo 10.12.2012 | | Autor: | triad |
> Moin!
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> > Ok, ich glaube ich habe es einigermaßen hinbekommen.
> >
> > Also nochmal, z.z. ist: [mm]R_1=\IZ[\sqrt{-3}][/mm] ist kein
> > ZPE-Ring, es gibt also ein irred. Element gibt, was kein
> > Primelement ist.
> >
> > Bew.: Beh.: [mm]3+\sqrt{-3}[/mm] ist irreduzibel in [mm]R_1[/mm]. Sei
> > [mm]3+\sqrt{-3}=x\cdot{y},[/mm] [mm]x,y\in R_1[/mm], dann 4 = [mm]N(3+\sqrt{-3})[/mm]
>
> Moment! [mm]3 + \sqrt{-3}[/mm] hat die Norm [mm]3^2 + 3 \cdot 1^2 = 12[/mm]
> und nicht 4. (Irreduzibel ist es aber trotzdem, du musst
> dir ueberlegen dass ein Element der Norm 3 kein Teiler von
> [mm]3 + \sqrt{-3}[/mm] sein kann.)
Ach, die 4 kommt noch vom ersten Beispiel. Natürlich ist [mm] $N(3+\sqrt{-3}) [/mm] = [mm] 3^2 [/mm] + [mm] 3\cdot 1^2 [/mm] = 12$.
>
> Oder meinst du vielleicht das Element [mm]1 + \sqrt{-3}[/mm]? Dieses
> Element hat die Norm 4.
>
> > = [mm]N(x)\cdot{N(y)}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow N(x),N(y)\in\{1,2,4\},[/mm]
Dann muss es hier heissen [mm] N(x),N(y)\in\{1,2,3,4,6\}, [/mm] wobei man die 2 wieder rausnehmen kann, weil 2 keine Norm ist. Aber wie geht es jetzt weiter? Die anderen sind ja alle (Ergebnisse von) Normen, z.B. [mm] N(0^2+3*1^2)=3. [/mm] Wenn [mm] (3+\sqrt{-3}) [/mm] wirklich irred. ist, muss ja entweder [mm] $x=\pm1$ [/mm] oder [mm] $y=\pm1$. [/mm]
Wenn ich jetzt die 3 auch noch aus der Menge rausnehmen könnte, dann würde ich durch Multiplikation nicht mehr die 12 darstellen können. Dein Hinweis, dass ein Element der Norm 3 kein Teiler von $3 + [mm] \sqrt{-3}$ [/mm] sein kann, hat mich darauf gebracht, obwohl ich ihn nicht ganz verstehe: Wir können doch solche Elemente gerade nur über ihre Norm vergleichen oder? Und ein Element mit Norm=3 ist sicher ein Teiler von einem Element mit Norm=12. Oder gilt das nur für die Normen dieser Elemente? Ich denke das ist es, was ich noch nicht verstanden habe, zumindest in Bezug auf die Norm.
> also z.B. N(x)=1: [mm]1 = a^2+3b^2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]b=0 \wedge a=\pm1[/mm],
> also [mm]x=\pm 1\in R_1^{\times}[/mm], also [mm]3+\sqrt{-3}[/mm]
> irreduzibel.
>
> Genau. (Bis auf die falsche Norm :) )
> > Beh.: [mm]3+\sqrt{-3}[/mm] ist kein Primelement. [mm]3*4 = 12 = (3+\sqrt{-3})(3-\sqrt{-3}) [/mm],
> > also [mm]3+\sqrt{-3}\mid 3*4[/mm], aber [mm]3+\sqrt{-3} \nmid 3[/mm]: wenn
> > [mm]3=3+\sqrt{-3}*x, x\in R_1,[/mm]
>
> Hier brauchst du Klammern! Also [mm]3 = (3 + \sqrt{-3}) \cdot x[/mm],
> [mm]x \in R_1[/mm].
>
> > norm: [mm]9 = 12\cdot{\underbrace{N(x)}_{\in \IZ}}[/mm]
> > geht nicht.
>
> Genau.
>
> > Analog: [mm]3+\sqrt{-3} \nmid 4[/mm]: wenn [mm]4=3+\sqrt{-3}*y, y\in R_1,[/mm]
> > norm: [mm]16 = 12\cdot{\underbrace{N(y)}_{\in \IZ}}[/mm] geht nicht.
> > Also ist [mm]3+\sqrt{-3}[/mm] kein Primelement.
>
> Genau.
>
> > Ich hoffe das klappt so.
>
> Bis auf den Beweis, dass [mm]3 + \sqrt{-3}[/mm] irreduzibel ist,
> ging's super
>
> LG Felix
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VIelen Dank und gruß triad
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 12.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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