Irreduzibles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl und K:= [mm] \IF_{p}(t) [/mm] der Quotientenkörper des Polynomringes [mm] \IF_{p}[/mm] [t]. Zeige, dass das Polynom f= [mm] X^{p}- [/mm] t [mm] \in [/mm] K[X] irreduzibel ist mit f'= 0 und folgere, dass die Körpererweiterung L:= [mm] K[\wurzel[p]{t}] [/mm] über K nicht separabel ist. |
Hallo an alle,
Nach Definition der Ableitung ist f'= [mm] pX^{p-1}, [/mm] und das ergibt ja 0 weil p im zugrunde gelegten Körper 0 ist.
Wäre f reduzibel, gäbe es g, h [mm] \in [/mm] K[X] mit f= gh. Also gilt auch 0= f'= (gh)'= g'h+ gh'. Also: g'h= -gh'. Das sieht mit dem Minus schon so nach einem Widerspruch aus, aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig mit meinen Überlegungen und bitte hier um etwas Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei p eine Primzahl und K:= [mm]\IF_{p}(t)[/mm] der Quotientenkörper
> des Polynomringes [mm]\IF_{p}[/mm] [t]. Zeige, dass das Polynom f= [mm]X^{p}-[/mm] t [mm]\in[/mm] K[X] irreduzibel ist mit f'= 0 und folgere, dass die Körpererweiterung L:= [mm]K[\wurzel[p]{t}][/mm] über K nicht separabel ist.
> Hallo an alle,
>
> Nach Definition der Ableitung ist f'= [mm]pX^{p-1},[/mm] und das ergibt ja 0 weil p im zugrunde gelegten Körper 0 ist.
Genau.
> Wäre f reduzibel, gäbe es g, h [mm]\in[/mm] K[X] mit f= gh. Also gilt auch 0= f'= (gh)'= g'h+ gh'. Also: g'h= -gh'. Das sieht mit dem Minus schon so nach einem Widerspruch aus, aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig mit meinen Überlegungen und bitte hier um etwas Hilfe!
Ich glaube nicht dass du damit weiterkommst.
Versuch es doch mal wie folgt:
1) Beachte, dass in einem algebraischen Abschluss gilt $f = (X - [mm] \alpha)^p$ [/mm] mit [mm] $\alpha^p [/mm] = t$.
2) Zeige, dass $f$ von der Form [mm] $P^n$ [/mm] ist fuer ein irreduzibles Polynom $P$ und ein $n [mm] \in \IN$. [/mm] (Wie koennen irreduzible Faktoren von $f$ ueberhaupt nur aussehen? Benutze 1 dafuer!)
3) Welche Werte kann $n$ annehmen?
4) Warum kann nicht $n = p$ sein?
LG Felix
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