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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 So 12.03.2006 | | Autor: | ronald |
| Aufgabe | | Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum.Zeigen Sie, dass es zu Untervektorräumen U und W von V genau dann eine orthogonale Abbildung [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V gibt mit [mm] \phi(U) [/mm] = W, wenn dim U = dim W. |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine erste Vordiplomsprüfung in Mathe vor.Und komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich glaube mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht viel mit dieser orthogonalen Abbildung anfangen kann. Ich habe zwar in google was gefunden ![[]](/images/popup.gif) orthogonale Abbildung. Aber das konnte mir viel helfen. Es wäre ganz nett, wenn Eine(r) von Euch mir einen Tipp geben könntest.
Danke!
Grüsse
ronald
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer
> Vektorraum.Zeigen Sie, dass es zu Untervektorräumen U und W
> von V genau dann eine orthogonale Abbildung [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V
> gibt mit [mm]\phi(U)[/mm] = W, wenn dim U = dim W.
> Hallo,
> ich bereite mich gerade auf meine erste Vordiplomsprüfung
> in Mathe vor.Und komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich
> glaube mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht
> viel mit dieser orthogonalen Abbildung anfangen kann. Ich
> habe zwar in google was gefunden
> orthogonale Abbildung.
> Aber das konnte mir viel helfen. Es wäre ganz nett, wenn
> Eine(r) von Euch mir einen Tipp geben könntest.
> Danke!
Zuersteinmal: Sind [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] und [mm] $(w_1, \dots, w_n)$ [/mm] zwei Orthonormalbasen von $V$, so definiert [mm] $\phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V$, [mm] $v_i \mapsto w_i$ [/mm] eine orthogonale Abbildung.
Andersherum ist eine jede orthogonale Abbildung $phi$ von dieser Form, sprich ist [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] eine Orthonormalbasis von $V$, so ist [mm] $(\phi(v_1), \dots, \phi(v_n))$ [/mm] ebenfalls eine Orthonormalbasis von $V$.
So. Da orthogonale Abbildungen insbesondere injektiv sind (das kannst du mit der Definition aus dem Link schnell zeigen) folgt aus [mm] $\phi(U) [/mm] = W$ schonmal [mm] $\dim [/mm] U = [mm] \dim [/mm] W$.
Ist andersherum [mm] $\dim [/mm] U = [mm] \dim [/mm] W$, so waehle eine Basis $(v'_1, [mm] \dots, [/mm] v'_k)$ von $U$ und eine Basis $(w'_1, [mm] \dots, [/mm] w'_k)$ von $V$. Vervollstaendige nun diese Basen und wende das Gram-Schmidt-Verfahren (Orthonormalisierung der Basen) darauf an. Damit kannst du jetzt wie oben ein [mm] $\phi$ [/mm] konstruieren. Jetzt musst du dir nur noch ueberlegen, warum [mm] $\phi$ [/mm] genau das macht was du willst 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mo 13.03.2006 | | Autor: | ronald |
Hi Felix,
danke erst mal für die schnelle Antwort. Ok, mir war nicht klar, dass die Bilder der orthogonalen Basisvektoren durch die orthogonale Abbildung auch eine orthogonale Basis bilden. War aber eigentlich logisch. Ich verstehe allerdings nicht, warum aus [mm] \phi(U) [/mm] = W folgt, dass dim U = dim W, wenn [mm] \phi [/mm] injektiv ist. Soll nicht dim U [mm] \le [/mm] dim W gelten? Oder irre ich mich?(es is ja schließlich schon ziemlich spät) Ausserdem weiß ich nicht welche Definition du meinst, mit der ich die Injektivität von [mm] \phi [/mm] zeigen soll. Ich muss doch aus [mm] \phi(a) [/mm] = [mm] \phi(b) [/mm] folgen a = b mit a, b [mm] \varepsilon [/mm] U. Aber was aus dem Link sol ich benutzen?
LG
ronald
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 13.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Roland,
> Ich verstehe
> allerdings nicht, warum aus [mm]\phi(U)[/mm] = W folgt, dass dim U =
> dim W, wenn [mm]\phi[/mm] injektiv ist. Soll nicht dim U [mm]\le[/mm] dim W
> gelten? Oder irre ich mich?(es is ja schließlich schon
> ziemlich spät)
Da [mm] $\phi$ [/mm] injektiv ist, gilt [mm] $\dim [/mm] U [mm] \le \dim [/mm] W$. Da jedoch [mm] $\phi(U) [/mm] = W$ ist, gilt [mm] $\dim [/mm] W [mm] \le \dim [/mm] U$. Wegen [mm] $\phi(U) [/mm] = W$ ist die Einschraenkung [mm] $\phi [/mm] : U [mm] \to [/mm] W$ bijektiv.
> Ausserdem weiß ich nicht welche Definition
> du meinst, mit der ich die Injektivität von [mm]\phi[/mm] zeigen
> soll. Ich muss doch aus [mm]\phi(a)[/mm] = [mm]\phi(b)[/mm] folgen a = b mit
> a, b [mm]\varepsilon[/mm] U. Aber was aus dem Link sol ich
Das ist uebrigens ein kleines Epsilon und kein `Element in'-Zeichen: das setzt man mit \in.
> benutzen?
Bei linearen Abbildungen reicht es zu zeigen, dass [mm] $\ker \phi [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] ist, also dass aus [mm] $\phi(a) [/mm] = 0$ bereits $a = 0$ folgt. Und fuer einen Vektor gilt ja $a = 0 [mm] \Leftrightarrow \langle [/mm] a, a [mm] \rangle [/mm] = 0$ (Skalarprodukt).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Mo 13.03.2006 | | Autor: | ronald |
Hi Felix,
Jetzt ist mir alles klar. Danke für die Hilfe.
LG
Ronald
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