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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 So 10.06.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo Leute.
Kann mir jemand sagen, wie mein folgendes Problem lösen kann:
Sei V der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad kleiner oder gleich 1.
Sei b auf V gegeben durch [mm] b(f,g):=\integral_{-1}^{1}{f(x)g(x) dx}.
[/mm]
Bezüglich der Basis B={1,t} sei eine lineare Abb. gegeben durch die Matrix
M(T,B)= [mm] \pmat{ 0 & b \\ a & 0 }, [/mm] mit a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Bestimme a,b so, dass T eine Isometrie bzgl b ist.
(b ist eine Bilinearform)
Ich weiß ja, dass b(T(u),T(v))=b(u,v) sein muss, damit T eine Isometrie ist.
Und [mm] det(M(T,B))=\pm1
[/mm]
Aber wie zeige ich das hier mithilfe von b und der Basis B?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Mo 11.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Sei nun f = [mm] k_1*x+d_1 [/mm] und g = [mm] k_2*x+d_2
[/mm]
dann ist b(f,g) = [mm] 2(d_1*k_2+d_2*k_1)
[/mm]
[mm] T(f)=a*d_1+b*k_1*x
[/mm]
[mm] T(g)=a*d_2+b*k_2*x
[/mm]
und daher [mm] b(T(f),T(g))=2*(a*d_1*b*k_2+a*d_2*b*k_1)
[/mm]
also muss a*b=1 sein um das Gewünschte zu gewährleisten....
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