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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:58 Do 26.03.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Flächen [mm] S_{1} [/mm] := {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 , -1 < z < 1 }
und [mm] S_2 [/mm] := {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] : [mm] x^2+y^2 [/mm] = 4, -1 < z < 1}.
Sind [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] lokal isometrisch? |
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Zuerst habe ich die Fundamentalform ausgerechnet.
Für [mm] S_1 [/mm] habe ich folgendes erhalten:
E = 1, F = 0, G=1
und für [mm] S_2:
[/mm]
E=4, F= 0, G=1.
Nun möchte ich eine Umparametrisierung für [mm] S_1 [/mm] machen, damit dann die Fundamentalformen der beiden Flächen [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] übereinstimmen. Denn damit wäre dann gezeigt, dass die Flächen lokal isometrisch sind.
Doch ich weiss nicht genau, wie ich diese Umparametrisierung machen kann. Kann mir jemand weiterhelfen?
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> Gegeben seien die Flächen
[mm] S_1:= $\{\,(x,y,z)\in \IR^{3}:\ x^2+ y^2 = 1\, ,\ -1 < z<1 \,\}$
[/mm]
> und
[mm] S_2:= $\{\,(x,y,z)\in \IR^{3}:\ x^2+y^2= 4\, ,\ -1 < z < 1\,\}$ [/mm] .
>
> Sind [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] lokal isometrisch?
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> Zuerst habe ich die Fundamentalform ausgerechnet.
> Für [mm] S_1 [/mm] habe ich folgendes erhalten: E = 1, F = 0, G=1
>
> und für [mm] S_2: [/mm] E=4, F= 0, G=1.
>
> Nun möchte ich eine Umparametrisierung für [mm]S_1[/mm] machen,
> damit dann die Fundamentalformen der beiden Flächen [mm]S_1[/mm] und
> [mm]S_2[/mm] übereinstimmen. Denn damit wäre dann gezeigt, dass die
> Flächen lokal isometrisch sind.
> Doch ich weiss nicht genau, wie ich diese
> Umparametrisierung machen kann. Kann mir jemand
> weiterhelfen?
Hallo Johnny,
ich denke, dass dies möglich sein sollte. [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] sind ja zwei
Zylinderflächen derselben Höhe [mm] \Delta_z=2, [/mm] welche sich nur im
Radius unterscheiden: [mm] S_i [/mm] hat den Radius [mm] r_i=i [/mm] $\ [mm] (\,i\in\{1,2\}\,)$.
[/mm]
Da Zylinderflächen die Gaußsche Krümmung Null haben und
damit lokal zur Ebene äquivalent sind, müssten sie lokal iso-
metrisch sein. Du müsstest für deinen Nachweis also wohl zeigen,
dass du ein kleines Stück der einen Fläche so mit einem kleinen
Stück der anderen identifizieren kannst, dass die innere Metrik
erhalten bleibt. Dies sollte mit Zylinderkoordinaten eigentlich
flott gehen. Bildlich gesehen kannst du für ein "kleines Flächen-
stück" sogar die gesamte Fläche [mm] S_1 [/mm] nehmen, die du allerdings
längs einer Mantellinie aufschlitzen musst. Mit diesem Mantel
kannst du dann [mm] S_2 [/mm] zur Hälfte isometrisch bedecken. Die
Abbildung f, welche [mm] S_1 [/mm] auf die Hälfte von [mm] S_2 [/mm] abbildet, könnte
man (in den Koordinaten des [mm] \IR^3) [/mm] so darstellen:
f: $\ [mm] P(cos(\varphi)\,|\,sin(\varphi)\,|\,z)\ \mapsto\ \overline{P}(2*cos(\bruch{\varphi}{2})\,|\,2*sin(\bruch{\varphi}{2})\,|\,z)$
[/mm]
Was aber jetzt technisch von dir genau verlangt ist, weiß
ich nicht so genau. Hättest du vielleicht ein anderes Beispiel
als Vorlage ?
Gruß Al-Chwarizmi
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> f: [mm]\ P(cos(\varphi)\,|\,sin(\varphi)\,|\,z)\ \mapsto\ \overline{P}(2*cos(\bruch{\varphi}{2})\,|\,2*sin(\bruch{\varphi}{2})\,|\,z)[/mm]
>
> Was aber jetzt technisch von dir genau verlangt ist, weiß
> ich nicht so genau.
Hallo Johnny,
du hast vorher gar nicht angegeben, wie du die Koeffizienten
der Fundamentalform berechnet hast. Wahrscheinlich hast
du aber dazu genau die zylindrische Parametrisierung benützt,
wie ich sie für [mm] S_1 [/mm] auch benütze. Wenn du sie mit u und v und
in Vektorform schreibst, wäre dies:
[mm] $\vec{P}(u,v)=\vektor{cos(u)\\sin(u)\\v}\qquad 0\le u<2*\pi\quad,\quad [/mm] -1<v<1$
Daraus berechnet man (siehe ![[]](/images/popup.gif) Erste Fundamentalform) E=1, F=0, G=1.
Für [mm] S_2 [/mm] erhält man aus der Parametrisierung
[mm] $\vec{P}(u,v)=\vektor{2*cos(u)\\2*sin(u)\\v}\qquad 0\le u<2*\pi\quad,\quad [/mm] -1<v<1$
die Werte E=4, F=0, G=1.
Mit der neu vorgeschlagenen Parametrisierung (für ein Teil-
stück von [mm] S_2, [/mm] das man aber durch eine Verschiebung in
u-Richtung an beliebiger Stelle auf die Fläche [mm] S_2 [/mm] platzieren
kann:
[mm] $\vec{P}(u,v)=\vektor{2*cos(u/2)\\2*sin(u/2)\\v}\qquad 0\le u<2*\pi\quad,\quad [/mm] -1<v<1$
erhält man auch die Werte E=1, F=0, G=1 .
Jetzt bliebe noch nachzurechnen, dass der Übergang
von der Parametrisierung der Fläche [mm] S_1 [/mm] zu der (neuen)
Parametrisierung von [mm] S_2 [/mm] tatsächlich isometrisch ist ...
Dies ist aber wohl durch die nun herrschende Übereinstim-
mung der Fundamentalformen schon erledigt !
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 29.03.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Mit dieser Parametrisierung klappts prima.
f: [mm]\ P(cos(\varphi)\,|\,sin(\varphi)\,|\,z)\ \mapsto\ \overline{P}(2*cos(\bruch{\varphi}{2})\,|\,2*sin(\bruch{\varphi}{2})\,|\,z)[/mm]
so erhalte ich dann E = 1, F= 0 und G=1.
Ist jeweils für [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] dasselbe. Tiptop.
Doch bei einer weiteren Aufgabe sei nun sie Abbildung
(2*u, v) [mm] \mapsto (u^2 [/mm] , v) gegeben, mit u [mm] \in \IC [/mm] und |u| = 1.
Die Abbildung geht wiederum von [mm] S_2 [/mm] nach [mm] S_1, [/mm] also die beiden Zylinder.
Hier muss wieder gezeigt werden, dass es sich bei dieser Abbildung um eine Isometrie handelt. Was kann ich denn nun dieses Mal für eine Umparametrisierung wählen, damit die Fundamentalformen übereinstimmen?
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> Hallo,
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> Mit dieser Parametrisierung klappts prima.
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> f: [mm]\ P(cos(\varphi)\,|\,sin(\varphi)\,|\,z)\ \mapsto\ \overline{P}(2*cos(\bruch{\varphi}{2})\,|\,2*sin(\bruch{\varphi}{2})\,|\,z)[/mm]
>
>
> so erhalte ich dann E = 1, F= 0 und G=1.
> Ist jeweils für [mm]S_1[/mm] und [mm]S_2[/mm] dasselbe. Tiptop.
>
> Doch bei einer weiteren Aufgabe sei nun sie Abbildung
> (2*u, v) [mm]\mapsto (u^2[/mm] , v) gegeben, mit u [mm]\in \IC[/mm] und |u| = 1.
> Die Abbildung geht wiederum von [mm]S_2[/mm] nach [mm]S_1,[/mm] also die
> beiden Zylinder.
> Hier muss wieder gezeigt werden, dass es sich bei dieser
> Abbildung um eine Isometrie handelt. Was kann ich denn nun
> dieses Mal für eine Umparametrisierung wählen, damit die
> Fundamentalformen übereinstimmen?
Ich frage mich, ob dies nicht im Wesentlichen dasselbe ist.
[mm] u\in \IC [/mm] mit |u|=1 lässt sich ja schreiben als [mm] u=cos(\varphi)+i*sin(\varphi)=e^{i*\varphi}
[/mm]
Dann ist
[mm] 2*u=2*(cos(\varphi)+i*sin(\varphi))=2*e^{i*\varphi}
[/mm]
und
[mm] u^2=\left(e^{i*\varphi}\right)^2=e^{i*(2\varphi)}=cos(2\varphi)+i*sin(2\varphi)
[/mm]
Es wird also im Prinzip auch wieder nur der Winkel verdoppelt
und der Radius halbiert (bzw. umgekehrt).
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 So 29.03.2009 | | Autor: | johnny11 |
aja genau, so stimmen dann die Fundamentalformen überein.
Also E = [mm] -4*e^{i\varphi*2}, [/mm] F= 0 und G=1.
Vielen Dank.
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> aja genau, so stimmen dann die Fundamentalformen überein.
> Also E = [mm]-4*e^{i\varphi*2},[/mm] F= 0 und G=1.
> Vielen Dank.
Dass man Fundamentalformen auch in solcher Weise
(quasi auf einer Menge [mm] K\times \IR, [/mm] wobei $\ K$ ein Kreis |z|=r in [mm] \IC [/mm] ist)
berechnen kann, ist mir neu.
Kannst du mir mitteilen, wie dies im Einzelnen geht, etwa für
die Abbildung
[mm] (u,v)\mapsto \vektor{u^2\\v}
[/mm]
[mm] (u\in \IC [/mm] mit |u|=1 , [mm] v\in \IR)
[/mm]
LG
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Hallo,
Also ich würde wie folgt vorgehen:
zuerst die partiellen Ableitungen bestimmen:
[mm] X_u [/mm] = (2u, 0 )
[mm] X_v [/mm] = (0 , 1 )
Also folgt daraus:
E = [mm] [/mm] = [mm] 4u^2
[/mm]
F = [mm] [/mm] = 0
G= [mm] [/mm] = 1
Hoffe das hat dir weitergeholfen...?
Lg johnny11
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