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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Isometrie
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Isometrie: Folgerung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Do 15.07.2010
Autor: Brad

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass f normal ist?
Wir hatten in der Vorlesung Spektralsätze und da hab ich mir überlegt, dass das eig so sein müsste jedoch bin ich mir nicht sicher.
Lg Brad

        
Bezug
Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Do 15.07.2010
Autor: Lippel


> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hallo
> Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
>  Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass f
> normal ist?

f Isometrie [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f orthogonal/unitär (je nachdem ob du dich in einem Euklidischen oder einem unitären Vektorraum befindest) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f normal

>  Wir hatten in der Vorlesung Spektralsätze und da hab ich
> mir überlegt, dass das eig so sein müsste jedoch bin ich
> mir nicht sicher.
>  Lg Brad


Grüße, Lippel

Bezug
                
Bezug
Isometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Do 15.07.2010
Autor: felixf

Hallo!

> > ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>  >  Hallo
> > Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
>  >  Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass
> f
> > normal ist?
>  
> f Isometrie [mm]\Rightarrow[/mm] f orthogonal/unitär

Zumindest, wenn $f(0) = 0$ ist ;-)

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Fr 16.07.2010
Autor: fred97


> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hallo
> Ich habe eine Frage bezüglich Abbildungen
>  Folgt daraus, dass f eine Isometrie ist auch schon dass f
> normal ist?
>  Wir hatten in der Vorlesung Spektralsätze und da hab ich
> mir überlegt, dass das eig so sein müsste jedoch bin ich
> mir nicht sicher.



Ist der zugrunde liegende Raum endlichdimensional, so ist eine lineare Isometrie normal, denn aus

           [mm] $f^{\*} \circ [/mm] f= id$  

folgt, dass f injektiv und somit auch bijektiv ist. Also gilt auch  $f [mm] \circ f^{\*} [/mm] = id$ , denn   [mm] $f^{\*}= f^{-1}$. [/mm]


Ist der zugrunde liegende Raum aber unendlichdimensional, so muß eine lineare Isometrie nicht normal sein. Beispiel: der Hilbertraum [mm] l^2( \IN) [/mm] und die Isometrie

                  [mm] $f(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)= [mm] (0,x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)$

Dann ist

                  [mm] $f^{\*}(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...)= [mm] (x_2,x_3, [/mm] ...)$

also   [mm] $f^{\*} \circ [/mm] f= id$ , aber  $f [mm] \circ f^{\*} \ne [/mm] id$

FRED


                    






>  Lg Brad


Bezug
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