Isometrie auf metrischem Raum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Beathans |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\beta ) [/mm] ein metrischer Raum und [mm]
C"(X-)= \{f| f:X- \mapsto \IR- [/mm] ist beschränkt und stetig [mm] \}
[/mm]
[mm] C"(X)- =(C"(X-),d') [/mm] ist Teilraum von [mm] (B(X),d) [/mm] wobei [mm] B(X)=\{ f| f:X- \mapsto \IR- [/mm] ist beschränkt [mm] \} [/mm] ist
für ein festes [mm] x_0 \in X [/mm] sei [mm] \varphi:X \to C"(X)- [/mm] definiert durch [mm]
\varphi(a)(x):=\delta(x,a)-\delta(x,x_0)[/mm] für alle [mm] x,a \in X [/mm]
es sei weiter [mm]
e:C"(X)- \timesX \mapsto \IR [/mm] definiert durch [mm] e(f,x):=f(x) [/mm]
für alle [mm] f \in C"(X-) [/mm] und alle [mm] x \in X. [/mm]
Es ist nun zu zeigen, dass:
a) die Einschränkung [mm] \varphi(X)- [/mm]\[mm]\varphi :X- \mapsto \varphi(X)- [/mm]
von [mm] \varphi [/mm] auf ihr Bild eine Isometrie ist.
(Anm. das Zeichen [mm]- [/mm] z.B bei [mm] X- [/mm] oder [mm] C"(X)- [/mm] bedeutet, dass dies ein
metrischer Raum ist mit der entsprechenden Menge.) |
Ich verstehe zu diesem Problem drei Dinge grundsätzlich nicht.
1. Bei [mm] \varphi:X \to C"(X)- [/mm] definiert durch [mm]
\varphi(a)(x):=\delta(x,a)-\delta(x,x_0)[/mm] wäre doch [mm] \delta(x,a)-\delta(x,x_0) [/mm] eine reelle Zahl, aber die Bildmenge ist [mm] C"(X)- [/mm] welche als Menge von Funktionen definiert ist.
2. Zu [mm] \varphi(X)- [/mm]\[mm]\varphi :X- \mapsto \varphi(X)- [/mm]
verstehe ich nicht was denn [mm] \varphi(X)- [/mm]\[mm]\varphi [/mm]
bedeuten soll, denn [mm] \varphi(X)- [/mm] ist ja eine Menge und keine Funktion.
3.Zu [mm]\varphi(a)(x)[/mm]: ist damit eine Funktion in abhängigkeit von a und x gemeint?
Die Verwirrung konnte mithilfe meines Lehrtextes nicht gelöst werden, deshalb hoffe ich, mir kann jemand weiterhelfen.
Gruss
Beathans
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Sa 23.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]Sei (X,\beta ) ein metrischer Raum und
C"(X)_=(f"(X_),d') ist Teilraum von (B(X),d) wobei B(X)=\left\{ f: f:X_ \to \IR\subset_ \right\ ist beschränkt}
für ein festes x_0 \in X sei \varphi:X\to C"(X)_ definiert durch
\varphi(a)(x):=\delta(x,a)-\delta(x,x_0) für alle x,a \in X
es sei weiter
e:C"(X)_\timesX\to \IR\subset definiert durch e(f,x):=f(x)
für alle f \in C"(X)_ und alle x \in X.
Es ist nun zu zeigen, dass:
a) die Einschränkung \varph(X)_ \ \varphi :X_ \to \varphi(X)_
von \varphi auf ihr Bild eine Isometrie ist.
(Anm. dieser Unterstrich _ z.B bei X_ oder C"(X)_ bedeutet, dass dies ein
metrischer Raum ist mit der entsprechenden Menge.)[/mm]
>
> Ich verstehe zu diesem Problem drei Dinge grundsätzlich
> nicht.
> 1. Bei [mm]\varphi:X\to C"(X)_ definiert durch
\varphi(a)(x):=\delta(x,a)-\delta(x,x_0)
[/mm]
> wäre doch [mm]\delta(x,a)-\delta(x,x_0)[/mm] eine reelle Zahl, aber
> die Bildmenge ist [mm]C"(X)_[/mm] als Menge von Funktionen
> definiert.
>
> 2. Zu [mm]\varph(X)_ \ \varphi :X_ \to \varphi(X)_[/mm] verstehe ich
> nicht was denn [mm]\varph(X)_ \ \varphi[/mm]
> bedeuten soll, denn
> [mm]\varph(X)_[/mm] ist ja eine Menge und keine Funktion.
>
> 3. [mm]\varphi(a)(x)[/mm], ist damit eine Funktion in abhängigkeit
> von a und x gemeint?
>
> Die Verwirrung konnte mithilfe meines Lehrtextes nicht
> gelöst werden, deshalb hoffe ich mir kann jemand
> weiterhelfen.
>
> Gruss
> Beathans
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Kannst Du das bitte lesbar machen ?
FRED
|
|
|
| |
|
Ist zwar ein bisschen schwer zu verstehen ohne Leerzeichen aber 1. und 3. kann ich dir erklären.
1. a ist der Wert im Urbild. [mm] \phi(a) [/mm] das Bild davon in C''. [mm] \phi(a) [/mm] ist also eine Funktion. Die Variable dieser Funktion ist x. Was so geschrieben wird
[mm] \phi(a)(x). [/mm] Für jedes a wird also eine Funktion in C'' definiert mit der Variablen x.
3. erklärt das auch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Sa 23.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Warum editierst Du Deinen Text nicht und fügst Leerzeichen ein ?
FRED
|
|
|
|
