Isometrischer Isomorphismus < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein normierter Vektorraum mit Dualraum X' und M ein abgeschlossener Teilraum von X.
Sei M°={x' [mm] \in [/mm] X': <x,x'>=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M} die Polare.
zz.: Die Abbildung [mm] \pi: [/mm] X'/M° [mm] \to [/mm] M': x'+M° [mm] \mapsto {x'}_{M} [/mm]
(wobei [mm] {x'}_{M}: [/mm] x' eingeschränkt auf M bedeuten soll)
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Hallo zusammen,
ich sitz gerade an dieser Aufgabe und komme nicht weiter.
Als erstes wollte/will ich zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist.
Meine Überlegung dazu war, dass ich den Homomorphiesatz verwenden könnte. Aber irgendwie komme ich damit nicht weiter.
Kann mich jemand auf den richtigen Weg bringen?
Das wär toll!! Danke schonmal 
Grüße,
Linda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Wenn du den Homomorphiesatz benutzen willst dann musst du die Abbildung [mm] $\alpha:X'\ni f\mapsto f|_M\in [/mm] M'$ betrachten und zeigen, dass [mm] $\alpha$ [/mm] surjektiv ist (Hahn-Banach) und dass [mm] $\ker\alpha=M^0$ [/mm] ist. Dann weißt du zumindest schonmal, dass dein [mm] $\pi$ [/mm] ein lineare Bijektion ist. Warum ist [mm] $\pi$ [/mm] sogar ein linearer Homöomorphismus (Stichwort Satz über die offene Abbildung)?
Gruß, Robert
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Guten Morgen!
Erst mal vielen Dank für deine Hilfe!!!
Die Abbildung [mm] \alpha [/mm] hatte ich mir auch so überlegt. Wieso brauch ich hier für die Surjektivität den Satz von Hahn-Banach?
Kann man die Surjektivität nicht schon daran erkennen, dass M' [mm] \subset [/mm] X' ist und die Zuordnung von [mm] \alpha [/mm] eindeutig?
Oder bin ich da komplett auf dem Holzweg?
Grüße,
Linda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 26.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Die Abbildung [mm]\alpha[/mm] hatte ich mir auch so überlegt. Wieso
> brauch ich hier für die Surjektivität den Satz von
> Hahn-Banach?
>
> Kann man die Surjektivität nicht schon daran erkennen,
> dass M' [mm]\subset[/mm] X' ist und die Zuordnung von [mm]\alpha[/mm]
> eindeutig?
Hä? Für Surjektivität müsstest du zeigen: für jedes [mm] $f\in [/mm] M'$ gibt es ein [mm] $\hat{f}\in [/mm] X'$ mit [mm] $\hat{f}|_M=f$. [/mm] Mit anderen Worten, du musst [mm] $f:M\to\IK$ [/mm] stetig und linear ausdehnen auf ganz X, und das ist genau der Satz von Hahn-Banach.
Gruß, Robert
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Okay, meine Überlegung war vielleicht etwas konfus ;)
Was ich sagen wollte, war:
[mm] \alpha [/mm] ist doch die Identität von [mm] X'\to [/mm] X' eingeschränkt auf M' und somit auch surjektiv.
Macht es so mehr Sinn?
Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp zur Isometrie geben?
Auf M' hab ich ja die Norm
[mm] \parallel m'\parallel [/mm] = sup{|<m,m'>|: [mm] \parallel [/mm] m [mm] \parallel [/mm] = 1}
und X'/M° hat die Norm [mm] \parallel [/mm] x'+M° [mm] \parallel [/mm] = inf{ [mm] \parallel [/mm] x'+ m° [mm] \parallel [/mm] : m° [mm] \in [/mm] M°}
Zu zeigen ist für die Isometrie dann doch:
[mm] \parallel \pi [/mm] (x'+ m°) [mm] \parallel [/mm]
= [mm] \parallel [/mm] x'+ m° [mm] \parallel [/mm]
Dann hab ich angefangen mit:
[mm] \parallel \pi [/mm] (x'+ m°) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel {x'}_{M} \parallel [/mm] = sup{ |<m, [mm] {x'}_{M}>|: \parallel [/mm] m [mm] \parallel [/mm] = 1}
Stimmt meine Überlegung soweit?
Wenn ja, wie komm ich jetzt weiter?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 27.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Okay, meine Überlegung war vielleicht etwas konfus ;)
> Was ich sagen wollte, war:
> [mm]\alpha[/mm] ist doch die Identität von [mm]X'\to[/mm] X' eingeschränkt
> auf M' und somit auch surjektiv.
> Macht es so mehr Sinn?
Nein, nicht wirklich, du musst einfach angeben von wo nach wo die Abbildung geht, und das du eben die Einschränkung benutzt. Das "Problem" ist folgendes: woher weisst du denn, dass ein stetiges Funktional auf M (M mit der induzierten Norm auf X) als Einschränkung eines stetigen Funktionals auf X vorkommt? Das garantiert dir der Satz von Hahn-Banach, ist aber nicht selbstverständlich. Mal ein Beispiel: Sei C die Menge aller stetigen Abbildungen von [m][0,1]\to \{0,1\}[/m], D die Menge aller stetigen Abbildungen von [m]\{0,1\}\to \{0,1\}[/m]. Welche Elemente gibt es in C, welche in D? Jetzt kannst du aber natürlich die Abbildungen in C einfach auf den Unterraum [m]\{0,1\}[/m] einschränken - das ist aber nicht surjektiv!
SEcki
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Okay, jetzt hab ichs glaub verstanden!
(Hoffentlich ...)
Sei [mm] \phi: [/mm] X' [mm] \to [/mm] X': f' [mm] \mapsto [/mm] f' die Identitätsabbildung - und somit stetig und auch surjektiv.
Wegen dem Satz von Hahn-Banach, weiß ich dass die Einschränkung [mm] \phi': [/mm] X' [mm] \to [/mm] M': f' [mm] \mapsto {f'}_M [/mm] existiert und stetig ist und natürlich auch surjektiv.
So ists richtig - oder?
Danke dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Mi 27.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Wegen dem Satz von Hahn-Banach, weiß ich dass die
> Einschränkung [mm]\phi':[/mm] X' [mm]\to[/mm] M': f' [mm]\mapsto {f'}_M[/mm]
> existiert und stetig ist und natürlich auch surjektiv.
Da steht zwar alles was man braucht um es zu begründen, aber ich glaube nicht dass du das wirklich verstanden hast. Insbesondere ist [mm] $\phi'$ [/mm] nicht die Einschränkung von [mm] $\phi$!!!
[/mm]
Nochmal von vorne: Wir wollen die Abbildung [mm] $\alpha:X'\ni f\mapsto f|_M\in [/mm] M'$ betrachten. Wenn wir das hinschreiben steckt da schonmal die Behauptung drinne, dass für jedes [mm] $f\in [/mm] X'$ die Einschränkung [mm] $f|_M$ [/mm] tatsächlich ein Element in $M'$ definiert. Warum sollte das so sein? Was ist die Definition von $M'$?! Zweitens mache dir wirklich klar, wie man den Satz von Hahn-Banach für die Surjektivität benutzt, d.h. kram die Defintion von "surjektiv" aus deinem Gehirn oder deinen Aufzeichnungen raus und dann beweise, dass [mm] $\alpha$ [/mm] surjektiv ist, indem du den Satz von Hahn-Banach benutzt!!
Gruß, Robert
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Auf ein Neues:
(Falls es euch zu blöd ist, dann lasst meine Mitteilung einfach unbeantwortet stehen. Ich geb mir wirklich Mühe und es tut mir Leid, wenn mir manches nicht gleich so klar ist!
Bin also trotzdem für jede Hilfe dankbar ;) )
Zunächst zu der Frage, warum [mm] f|_{M} [/mm] in M' liegt:
Wir wissen, dass f [mm] \in [/mm] X', also ist f ein stetige Linearform auf X. Da M abgeschlossener Unterraum von X, ist dann [mm] f|_{M} [/mm] stetig auf M und somit in M'.
M' ist definiert als der Dualraum von M, also als der Raum der stetigen Linearformen m': M [mm] \to \IK.
[/mm]
Nun zum Satz von Hahn-Banach:
Mir ist mein Fehler aufgefallen:
Der Satz von Hahn-Banach sagt aus, dass wenn X ein normierter Raum und M ein Untervektorraum ist, dann existiert zu jedem stetigen linearen Funktional m': M' [mm] \to \IK [/mm] ein stetiges lineares Funktional x': x [mm] \to \IK [/mm] mit
[mm] x'|_{M} [/mm] = m' und [mm] \parallel [/mm] x' [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] m' [mm] \parallel [/mm]
In meinem Fall heißt das dann doch,
dass ich das lineare Funktional [mm] f|_{M}: [/mm] M [mm] \to \IK [/mm] fortsetzen kann zu f*: X [mm] \to \IK [/mm] (mit f* [mm] \in [/mm] X')
Kann ich das dann auch für [mm] \alpha [/mm] verwenden?
Und so dann die Identität [mm] \alpha': [/mm] X [mm] \to [/mm] X: f [mm] \to [/mm] f bekommen?
Da hänge ich jetzt gerade und kann die Sachen noch nicht richtig zusammenbringen.
Zu surjektiv:
Die Abbildung [mm] \alpha [/mm] ist surjektiv, wenn man zu jedem m' [mm] \in [/mm] M' ein Urbild x' [mm] \in [/mm] X' bzgl [mm] \alpha [/mm] findet, also ein x' [mm] \in [/mm] X' mit [mm] \alpha(x')= [/mm] m'
Den Zusammenhang zu Hahn-Banach kann ich hier leider noch nicht erkennen :(
Wünsch euch eine gute Nacht!
Lin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Do 28.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> (Falls es euch zu blöd ist, dann lasst meine Mitteilung
> einfach unbeantwortet stehen.
Es ist ja auch eine Frage!
> Zunächst zu der Frage, warum [mm]f|_{M}[/mm] in M' liegt:
Lineare Funktionen kann man auf die Unterräume ohne Probleme einschränken. Da diese stetig sind gdw. wenn sie beschränkt sind, vererbt sich Stetigkeit automatisch weiter.
> Nun zum Satz von Hahn-Banach:
> Mir ist mein Fehler aufgefallen:
> Der Satz von Hahn-Banach sagt aus, dass wenn X ein
> normierter Raum und M ein Untervektorraum ist, dann
> existiert zu jedem stetigen linearen Funktional m': M' [mm]\to \IK[/mm]
> ein stetiges lineares Funktional x': x [mm]\to \IK[/mm] mit
> [mm]x'|_{M}[/mm] = m' und [mm]\parallel[/mm] x' [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] m'
> [mm]\parallel[/mm]
Ja - und wo war dein Fehler?
> In meinem Fall heißt das dann doch,
> dass ich das lineare Funktional [mm]f|_{M}:[/mm] M [mm]\to \IK[/mm]
> fortsetzen kann zu f*: X [mm]\to \IK[/mm] (mit f* [mm]\in[/mm] X')
Aha. Was ist [m]f|_{M}[/m]? Oder nimmst du lieber gleich ein beliebiges Funktional [m]f:M'\to \IK[/m]?
> Kann ich das dann auch für [mm]\alpha[/mm] verwenden?
Den Satz? Natürlich?!
> Und so dann die Identität [mm]\alpha':[/mm] X [mm]\to[/mm] X: f [mm]\to[/mm] f
> bekommen?
Wir versuchen gerade, diese Identität aus dir "rauszuprügeln" und du nimmst sie immer wieder her. Vergiss die Identität in dem Zusammenhang einfach.
> Zu surjektiv:
> Die Abbildung [mm]\alpha[/mm] ist surjektiv, wenn man zu jedem m'
> [mm]\in[/mm] M' ein Urbild x' [mm]\in[/mm] X' bzgl [mm]\alpha[/mm] findet, also ein x'
> [mm]\in[/mm] X' mit [mm]\alpha(x')=[/mm] m'
>
> Den Zusammenhang zu Hahn-Banach kann ich hier leider noch
> nicht erkennen :(
??? Der Satz von Hahn-Banach beschreibt fast wortwörtlich die Surjektivität. Wobei [mm]\alpha[/mm] natürlich nicht die unsinnge Identität sein soll - sondern die Einschränkung auf den Unterraum M! Lag es daran?
SEcki
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Sorry, wollte gestern auf den Mitteilungsbutton drücken...
1. Mein Fehler war, dass ich [mm] \alpha: X'\to [/mm] M' fortsetzen wollte und nicht das Funktional [mm] f|_{M} \in [/mm] M'.
2. Surjektivität (ich glaub es hat geschnackelt...):
zz. Zu jedem m [mm] \in [/mm] M' gibt es ein [mm] f\in [/mm] X' mit [mm] \alpha(f)=f|_{M} [/mm] = m.
Beweis: Sei [mm] m\in [/mm] M'. Dann gibt es nach dem Satz von Hahn-Banach eine Fortsetzung f [mm] \in [/mm] X' für die gilt:
[mm] f_{M} [/mm] = m und [mm] \parallelf \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] m [mm] \parallel
[/mm]
Und somit gilt auch
[mm] \alpha(f) [/mm] = m.
Was zu zeigen war.
Gruß. Lin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 29.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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