Isomorph < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 So 25.11.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Sind die folgenden Gruppen G und H isomorph?
(1) G = [mm] \{\pi \in S_n | \pi (1)=1}, [/mm] H=S_(n-1) für alle n [mm] \in [/mm] N, n> 1
(2) G = [mm] S_2 [/mm] x [mm] S_2 [/mm] und H = <(1 2 3 4)> [mm] \subset S_4; [/mm] |
Guten Tag,
Ich weis nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll. Um zu zeigen das das zwei Gruppen isomorph sind muss ich eine Homomorphismus finden, wobei die Funktion bijektiv ist.
Glaube das (1) isomorph ist habe aber noch keine Funktion gefunden.
Die zweite Teil Aufgabe ist nach meiner Vermutung kein kein isomorph, aber wie zeige ich dies?
Ich müsste ja beweisen das es keinen bijktiven Homomorphismus gibt.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 So 25.11.2012 | | Autor: | hippias |
> Sind die folgenden Gruppen G und H isomorph?
> (1) G = [mm]\{\pi \in S_n | \pi (1)=1},[/mm] H=S_(n-1) für alle n
> [mm]\in[/mm] N, n> 1
> (2) G = [mm]S_2[/mm] x [mm]S_2[/mm] und H = <(1 2 3 4)> [mm]\subset S_4;[/mm]
> Guten
> Tag,
> Ich weis nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll. Um zu
> zeigen das das zwei Gruppen isomorph sind muss ich eine
> Homomorphismus finden, wobei die Funktion bijektiv ist.
> Glaube das (1) isomorph ist habe aber noch keine Funktion
> gefunden.
Tip: Wegen [mm] $\pi(1)= [/mm] 1$ kann man [mm] $\pi$ [/mm] auf die Menge [mm] $\{2,\ldots,n\}$ [/mm] einschraenken. Ist die Einschraenkung auch eine Permutation der kleineren Menge? Versuche dies auf Dein Problem umzumuenzen.
> Die zweite Teil Aufgabe ist nach meiner Vermutung kein
> kein isomorph, aber wie zeige ich dies?
> Ich müsste ja beweisen das es keinen bijktiven
> Homomorphismus gibt.
Richtig. Ueberlege Dir Eigenschaften, die unter Isomorphismen erhalten bleiben, aber nicht beide Gruppen haben. Z.B. die Ordnung von Elementen.
>
> Danke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 25.11.2012 | | Autor: | Expo |
> Tip: Wegen [mm]\pi(1)= 1[/mm] kann man [mm]\pi[/mm] auf die Menge
> [mm]\{2,\ldots,n\}[/mm] einschraenken. Ist die Einschraenkung auch
> eine Permutation der kleineren Menge? Versuche dies auf
> Dein Problem umzumuenzen.
Ja, [mm]\{2,\ldots,n\}[/mm] ist eine Permutation der kleineren Menge.
Also muss f(x) =(h 1) ° a (wobei h das element auf welches 1 in a abbildet) sein.
Wobei dieser Homophismus nicht bijktiv ist.
> > Die zweite Teil Aufgabe ist nach meiner Vermutung kein
> > kein isomorph, aber wie zeige ich dies?
> > Ich müsste ja beweisen das es keinen bijktiven
> > Homomorphismus gibt.
> Richtig. Ueberlege D....
[mm] S_2 xS_2 [/mm] ist abelsch ABER <1234> nicht, das reicht noch nicht als beweis oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zur 1.)
Also [mm] S_{n-1} [/mm] sind ja alle Permutationen auf [mm] \{1,...,n-1\}. [/mm] Das Ding ist isomorph zu [mm] \tilde{S}_{n-1}, [/mm] was die Permutationen auf [mm] \{2,...,n\} [/mm] sein sollen. Schau mal die Abbildung an, die ein [mm] \sigma\in\tilde{S}_{n-1} [/mm] einfach auf eine Permutation in [mm] S_n [/mm] schickt, die die 1 fest lässt und mit den Elementen [mm] $2,\ldots,n$ [/mm] das gleich macht wie [mm] \sigma. [/mm] Mit der Notation fällt es dir vielleicht leichter alles zu zeigen.
Zur 2.)
Doch, beide Gruppen sind abelsch. Bestimme mal die Ordnungen von ein paar Elementen, vielleicht fällt dir dann etwas auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 25.11.2012 | | Autor: | Expo |
> Hi!
>
> Zur 1.)
> Also [mm]S_{n-1}[/mm] sind ja alle Permutationen auf [mm]\{1,...,n-1\}.[/mm]
> Das Ding ist isomorph zu [mm]\tilde{S}_{n-1},[/mm] was die
> Permutationen auf [mm]\{2,...,n\}[/mm] sein sollen. Schau mal die
> Abbildung an, die ein [mm]\sigma\in\tilde{S}_{n-1}[/mm] einfach auf
> eine Permutation in [mm]S_n[/mm] schickt, die die 1 fest lässt und
> mit den Elementen [mm]2,\ldots,n[/mm] das gleich macht wie [mm]\sigma.[/mm]
Ok alos F(x)= [mm] \sigma\in\tilde{S}_{n-1} °\pmat{ 1 & 2 & 3 .... & n \\ 1 & \sigma(2) & \sigma(3).... & \sigma(n) } [/mm]
Aber ist diese funtion bijektiv ?
> Zur 2.)
> Doch, beide Gruppen sind abelsch. Bestimme mal die
> Ordnungen von ein paar Elementen, vielleicht fällt dir
> dann etwas auf.
Ich habe etwas gegoogelt und die Ordnung von Gruppen elementen haben wir noch nicht behandelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 So 25.11.2012 | | Autor: | Expo |
>
> Ok alos F(x)= [mm]\sigma\in\tilde{S}_{n-1} [/mm] ° [mm] \pmat{1 & 2 & 3 .... & n \\ 1 & \sigma(2) & \sigma(3).... & \sigma(n) }[/mm]
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, die Abbildung ist bijektiv. Du kannst ja mal versuchen Injektivität und Surjektivität getrennt zu zeigen (obwohl du streng genommen nur eines von beiden bräuchtest). Wenn es irgendwo hakt, frag nochmal nach.
Zur 2. Aufgabe: Ok, dann vielleicht so: $<(1 2 3 4)>$ ist ja zyklisch. Ist [mm] S_2\times S_2 [/mm] auch zyklisch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 25.11.2012 | | Autor: | Expo |
> Zur 2. Aufgabe: Ok, dann vielleicht so: [mm]<(1 2 3 4)>[/mm] ist ja
> zyklisch. Ist [mm]S_2\times S_2[/mm] auch zyklisch?
nein da sie nicht aus einem einzelnen Element erzeugt wird Element.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau. Und eine zyklische Gruppe kann nicht isomorph zu einer nicht-zyklischen Gruppe sein.
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