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Hallo an Alle!
Ich hab mal eine Frage zu Gruppenhomomorphismen.
Ich soll zeigen, dass [mm] (\IR,+) [/mm] und [mm] (\IR^{0}= [/mm] { [mm] r\in\IR|r\not=0 [/mm] },*) zueinander nicht isomorph sind.
Ich habe jetzt so ziemlich alles probiert, was mir einfällt. Man gab uns den Tipp, das durch Widerspruch zu zeigen.
Außerdem habe ich mir überlegt, dass eine negative Zahl nicht als Bild eines Isomorphismus auftreten kann, aber wie zeigt man das?
Vielleicht kann mir jemand den (hoffentlich kurzen) Beweis zeigen.
Vielen Dank.
mathmetzsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Do 27.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Man gab uns den Tipp, das durch Widerspruch zu
> zeigen.
Die Sache ist: die neagtiven Zahlen könen von so einem Homomorphismus nicht getroffen werden. Nehme mal, es gäbe ein so ein r, daß [m]\phi(r)<0[/m] - was folgt dann?
> Außerdem habe ich mir überlegt, dass eine negative Zahl
> nicht als Bild eines Isomorphismus auftreten kann, aber wie
> zeigt man das?
Oh, die richtige hast du ja. Dann noch als Tiop: [m]\bruch{r}{2}[/m]. Was folgt hierfür?
SEcki
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Hallo,
also es tut mir leid. Die Frage mit dem f(r)<0 habe ich mir auch schon mehrere Male gestellt. Und was soll das mit dem r/2? Soll ich das mit der Def für Homomorphismen zum Widerspruch führen oder mit einer bestimmten Eigenschaft oder stehe ich einfach auf dem Schlauch??
Bitte noch mal um Hilfe.
VG mathmetzsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Do 27.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> also es tut mir leid. Die Frage mit dem f(r)<0 habe ich mir
> auch schon mehrere Male gestellt. Und was soll das mit dem
> r/2? Soll ich das mit der Def für Homomorphismen zum
> Widerspruch führen
Ja genau. Spiel mal ein bisschen damit rum - [m]r=\bruch{r}{2}+\bruch{r}{2}[/m]. Das ist jetzt doch schon quasi die Lösung, den Rest solltest du wirklich alleine schaffen! (Wende den Homomoprhismus auf beiden Seiten mal an.)
SEcki
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Ich danke dir für deine Geduld. Jetzt hab Ich's gesehen.
Ang [mm] \exists [/mm] r: f(r)<0
f(r)<0 dann ist auch f(r/2)<0
f(r)=f(r/2+r/2)=f(r/2)*f(r/2)
ist dann größer null, wenn f(r)<0. Da ist der Widerspruch. Ich versteh nur nicht ganz, wo eingeht, dass f Isomorphismus ist?
Na ja, das leuchtet jedenfalls ein. Danke
VG mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 27.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> f(r)<0 dann ist auch f(r/2)<0
Das weisst du nicht - ist aber für den Beweis egal.
> Ich versteh nur nicht ganz, wo eingeht, dass f
> Isomorphismus ist?
Indirekt - du zeigst aj eiegbntlich eine stärkere Aussage: es gibt keinen surjekitven Homomorphismus. Da ein Iso auch immer surjektiv ist, folgt dann alles.
SEcki
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