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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 08.08.2016 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
könnt ihr mir beim Nachvollziehen der folgende Isomorphiekette helfen?
Dabei sei [mm]\alpha:=\frac{1}{2}(1+\sqrt{-39})[/mm], $(5)$ soll ein Ideal in [mm]\mathbb Z[\alpha][/mm],[mm]f=X^2-X+10[/mm] das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] sein.
[mm]\mathbb Z[\alpha]/(5)\:\:\cong\:\: (\mathbb Z[X]/(f))/(5)\:\:\cong\:\: \mathbb Z[X]/(5,f)\:\:\cong\:\: (\mathbb Z/5\mathbb Z)[X]/(X(X-1))\:\:\cong\:\: (\mathbb Z/5\mathbb Z)[X]/(X)\times (\mathbb Z/5\mathbb Z)[X]/(X-1)[/mm]
Also die erste Isomorphie ergibt sich aus dem Isomorphiesatz für Ringe.
Beim dritten wurde der Quotient modulo 5 betrachtet, aber ich weiß nicht, wie man die Isomorphie rechtfertigen kann.
Beim zweiten hab ich keine Ahnung.
Beruht die vierte Isomorphie auf dem Chinesischen Restsatz?
Viele Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mo 08.08.2016 | | Autor: | indyze |
Guten Abend, Fry! 
1. [mm] $\mathds{Z}[\alpha]\cong\mathds{Z}[X]/\langle f\rangle$: [/mm] Genau, das folgt aus dem Homomorphiesatz. Dazu muss man den Homomorphismus [mm] $\mathds{Z}[X]\longrightarrow\mathds{Z}[\alpha]$ [/mm] betrachten und sich überlegen, weshalb der Kern genau $f$ ist.
2. [mm] $(\mathds{Z}[X]/\langle f\rangle)/\langle 5\rangle\cong\mathds{Z}[X]/\langle f,5\rangle$: [/mm] Es gilt allgemein [mm] $(R/I)/\overline{J}\cong [/mm] R/(I+J)$ für zwei Ideale [mm] $I,J\trianglelefteq [/mm] R$. Hierbei bezeichnet [mm] $\overline{J}$ [/mm] das Bild von $J$ in $R/I$. Um die Isomorphismen in beide Richtungen zu erhalten, verwende jeweils den Homomorphiesatz.
3. [mm] $\mathds{Z}[X]/\langle f,5\rangle\cong(\mathds{Z}/\langle 5\rangle)[X]/\langle f\rangle$: [/mm] Zunächst erhalten wir [mm] $\mathds{Z}[X]/\langle f,5\rangle\cong(\mathds{Z}[X]/\langle 5\rangle)/\langle f\rangle$, [/mm] indem wir noch einmal das Argument aus 2. verwenden. Nun gilt allgemein [mm] $R[X]/\langle I\rangle\cong(R/I)[X]$ [/mm] für [mm] $I\trianglelefteq [/mm] R$; hierbei ist [mm] $\langle I\rangle$ [/mm] das von $I$ in $R[X]$ erzeugte Ideal. (Für gewöhnlich schreibt man auch $I[X]$ für [mm] $\langle I\rangle$. [/mm] - Du kannst dir ja einmal überlegen, welche Form die Elemente von $I[X]$ besitzen.) Um den Isomorphismus einzusehen, verwende die universellen Eigenschaften von Quotient und Polynomring.
4. [mm] $\IF_5[X]/\langle X(X-1)\rangle\cong\IF_5[X]/\langle X\rangle\times\IF_5[X]/\langle X-1\rangle$: [/mm] Es ist [mm] $\langle X(X-1)\rangle=\langle X\rangle\cdot\langle X-1\rangle$. [/mm] Es ist [mm] $\langle X\rangle+\langle X-1\rangle=\langle 1\rangle$. [/mm] Damit folgt die Behauptung, wie du sagt, aus dem chinesischen Restsatz: [mm] $R/(I\cdot J)\cong R/I\times [/mm] R/J$, für [mm] $I,J\trianglelefteq [/mm] R$ mit [mm] $I+J=\langle 1\rangle$.
[/mm]
Mathematische Grüße
indyze
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:49 Sa 13.08.2016 | | Autor: | Fry |
Hallo indyze!
Erstmal vielen, vielen Dank für deine Antwort! Hab fast alles verstanden, danke für deine ausführliche Antwort. :) Du hast mir enorm weitergeholfen. Eine Frage
Bzgl 2: Ist dies ein Spezialfall des zweiten Isomorphiesatzes [mm] $(R/I)/(J/I)\cong [/mm] R/J$ ?
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 21.08.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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