Isomorphie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Di 08.02.2005 | | Autor: | tobilero |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie zeigt man dass die 2*2 Matrix m= [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a }, [/mm] wobei a und b element aus den reellen zahlen sind isomorph zu [mm] \IC [/mm] ist?
Lösungsansatz:
f: [mm] \IC \to [/mm] M
(a,b) [mm] \mapsto \pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm]
Da diese Abb. bijektiv ist und f sowohl bzgl. der Addition als auch bzgl. Multiplikation verknüpfungstreu ist und auch das Distrubutivgesetz enthält. handelt es sich um eine Isomorphie!?
Íst dieser Beweis so vollständig?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wie zeigt man dass die 2*2 Matrix m= [mm]\pmat{ a & -b \\ b & a },[/mm]
> wobei a und b element aus den reellen zahlen sind isomorph
> zu [mm]\IC[/mm] ist?
Genauer gesagt: die Menge dieser 2x2-Matrizen
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> Lösungsansatz:
> f: [mm]\IC \to[/mm] M
> (a,b) [mm]\mapsto \pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm]
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> Da diese Abb. bijektiv ist und f sowohl bzgl. der Addition
> als auch bzgl. Multiplikation verknüpfungstreu ist und auch
> das Distrubutivgesetz enthält. handelt es sich um eine
> Isomorphie!?
> Íst dieser Beweis so vollständig?
Eigentlich schon, nur sollte man das vielleicht auch aufschreiben.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Di 08.02.2005 | | Autor: | t.sbial |
Du solltest das unbedingt aufschreiben!
Und zwar wie immer:
z.Z:
1. f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d)
[mm] 2.f(\lambda(a,b))=\lambda*f(a,b)
[/mm]
3. f ist injektiv und surjektiv.
z.B. ist 1.:
f((a,b)+(c,d))=f((a+c,b+d))= [mm] \pmat{ a+c & -b-d \\ b+d & a+c }= \pmat{ a & -b \\ b & a }+ \pmat{ c &-d \\ d & c }=f(a,b)+f(c,d)
[/mm]
2. verläuft genauso wie 1.
Die Surjektivität folgt aus der Definition und für die Injektivität nutzt man entweder die Tatsache das 2 Matrizen gleich sind wenn ihre Komponenten identisch sind oder das der Kern von f nur 0 ist.
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