Isomorphie Vektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } A_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } A_{4} [/mm] = [mm] \pmat{01 & 1 \\ 1 & 1 } \in \IZ^{2 x 2}_{2}
[/mm]
Zeigen Sie, dass das der Vektorraum [mm] V_{1} [/mm] = { [mm] A_{1} [/mm] ... [mm] A_{4} [/mm] } isomorph ist zu [mm] V_{2} [/mm] = { [mm] a_{o} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] | [mm] a_{0},a_{1} \in \IZ_{2} [/mm] } |
Hi!
Um zu Beweisen, dass zwei Vektorräume isomorph sind reicht es ja zu überprüfen ob ihre Dimension gleich ist.
Die Dimension von [mm] V_{1} [/mm] ist 2 denn eine Basis wäre B = { [mm] A_{2}, A_{3} [/mm] }
Also muss ich nun noch beweisen, dass [mm] V_{2} [/mm] eine Dimension von zwei hat.
Nur verstehe ich in diesem Zusammenhang das x nicht. Ist x hier ein beliebiger Skalar, wenn ja woraus? Das käme mir unlogisch vor, denn dann würde die Dimension der Logik nach 1 sein, d.h. die beiden Vektorräume wären nicht isomorph.
Oder ist der zugrundeliegende Satz für meine Beweisführung nicht ausreichend? Bzw. anders gefragt:
Wenn zwei Vektorräume die gleiche(endliche) Dimension habe sind sie zueinander isomorph.
gilt dann auch: Wenn zwei Vektorräume zueinander isomorph sind, haben sie die gleiche Dimension?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } A_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } A_{3}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } A_{4}[/mm] = [mm]\pmat{01 & 1 \\ 1 & 1 } \in \IZ^{2 x 2}_{2}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass das der Vektorraum [mm]V_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]A_{1}[/mm] ...
> [mm]A_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} isomorph ist zu [mm]V_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]a_{o}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] |
> [mm]a_{0},a_{1} \in \IZ_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Hi!
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> Um zu Beweisen, dass zwei Vektorräume isomorph sind reicht
> es ja zu überprüfen ob ihre Dimension gleich ist.
> Die Dimension von [mm]V_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist 2 denn eine Basis wäre B = {
> [mm]A_{2}, A_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Also muss ich nun noch beweisen, dass [mm]V_{2}[/mm] eine Dimension
> von zwei hat.
> Nur verstehe ich in diesem Zusammenhang das x nicht. Ist x
> hier ein beliebiger Skalar, wenn ja woraus? Das käme mir
> unlogisch vor, denn dann würde die Dimension der Logik nach
> 1 sein, d.h. die beiden Vektorräume wären nicht isomorph.
>
> Oder ist der zugrundeliegende Satz für meine Beweisführung
> nicht ausreichend? Bzw. anders gefragt:
> Wenn zwei Vektorräume die gleiche(endliche) Dimension habe
> sind sie zueinander isomorph.
> gilt dann auch: Wenn zwei Vektorräume zueinander isomorph
> sind, haben sie die gleiche Dimension?
Ja. Seien V und W vektorräume und f:V-->W ein Isomorphismus
Nimm [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_m \in [/mm] V und zeige:
[mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_m [/mm] sind lin. unabh. in V [mm] \gdw f(b_1), [/mm] ..., [mm] f(b_m) [/mm] sind lin. unabh. in W
FRED
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