Isomorphie der \IZ/\pIZ Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 08.02.2007 | | Autor: | hanesy |
Hallo ihr alle,
Ich habe mal eine allgemeine Frage:
Wann ist eine Gruppe
[mm] \IZ/a\IZ [/mm] isomorph zu [mm] \IZ/p_{1}\IZ \times ....\times \IZ/p_{n}\IZ, [/mm] wobei [mm] p_{j} [/mm] die Prinfaktorzerlegung von a sein soll ???
In unserem Skriptwird das für den Fall 15 (mit 5 und 3) einfach so benutzt. Aber für 4 (mit 2 und 2) klappt das meiner Meinung nach nicht !
Würde mich freuen wenn mit jemand etwas Erleuchtung brigen könnte!
Viele Grüße
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 08.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Hannes,
die Sache ist ganz einfach: Es gilt
[mm] \IZ/a\IZ \cong \IZ/p^{e_1}_{1}\IZ \times ....\times \IZ/p^{e_n}_{n}\IZ,
[/mm]
falls [mm] a=p^{e_1}_{1}\cdot \ldots\cdot p^{e_n}_{n} [/mm] die Primfaktorzerlegung von a ist.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 08.02.2007 | | Autor: | hanesy |
Danke für die fixe Antwort, aber ich frag noch einmal nach, damit ich mir absolut sicher bin ;) :
Ist denn
[mm] \IZ/4\IZ \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ [/mm] richtig ??
Ich erinnere mich dunkel daran, dass in einer Übungsaufgabe einmal widerlegt zu haben, da die rechte Seite im Gegensatz zur linken nicht zyklisch ist!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Do 08.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Genau: [mm] \IZ/4\IZ\not\cong \IZ/2\IZ\times \IZ/2\IZ. [/mm] Volker
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