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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Isomorphie und ideale
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Isomorphie und ideale: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Mi 29.04.2009
Autor: n8Mare

Aufgabe
2.)
Sei K ein Körper und k [mm] \in [/mm] K. Zeigen Sie:

a.)
Ist U ein Untervektorraum des K-Vektorraumes K[x] und gilt xf [mm] \in [/mm] U für alle f [mm] \in [/mm] U, so ist U ein Ideal des Ringes K[x].
b.)
Die Menge [mm] I_k [/mm] = {f [mm] \in [/mm] K[x] | f(k) = 0} ist ein Ideal von K[x].
c.)
Der Quotientenring K[x]/(x -k) ist ein zu K isomorpher Körper.
d.)
Es gilt [mm] I_k [/mm] = (x -k).

Hallo,
Habe gerade Algebra und noch einige Verstaendnissprobleme
ich fang mal an
zu a.)
ein Ideal benötigt 3 Kriterien nämlich das es nicht leer ist und es additiv & multiplikativ abgeschlossen ist.
los gehts...
Wenn U ein Untervektorraum von K[x] ist so gilt:
( U [mm] \not= \emptyset \wedge [/mm] ( [mm] \forall [/mm] u,f [mm] \in [/mm] U (u + f) [mm] \in [/mm] U) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \forall [/mm] u,f [mm] \in [/mm] U(u - f) [mm] \in [/mm] U) denn (U,+,-) ist ein Untergruppe von (K[x],+,-). Soviel zur additiven Abgeschlossenheit.
Ferner ist U multiplikativ abgeschlossen da [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] K[x], [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] U (xf [mm] \in [/mm] U) gilt (gegeben und durch Untergruppe).

Wenn ich mich nicht irre reicht das bereits.

zu b.)
[mm] I_k [/mm] = {f [mm] \in [/mm] K[x] | f(k) = 0}
[mm] \Rightarrow I_k [/mm] = {0}.   Ich hoffe dass das so stimmt.
[mm] \Rightarrow I_k \not= \emptyset [/mm]
[mm] \wedge [/mm]
( [mm] \forall [/mm] u,f [mm] \in [/mm] U ((u + f) [mm] \in [/mm] U) [mm] \wedge [/mm] (u - f) [mm] \in [/mm] U)
denn u = 0 [mm] \wedge [/mm] f = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 -0 = 0 + 0 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] additive Abgeschlossenheit
[mm] \wedge [/mm]
( [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U, [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] K[x] ((uf) [mm] \in [/mm] U))
denn u = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0*f = f*0 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] multiplikative Abgeschlossenheit
[mm] \Rightarrow I_k [/mm] ist ein Ideal von K[x]
geht das so?

c.)
für Isomorphie muessen Bijektivität und Homomorphie der einfachen und der invertierten Funktion gewaehrleistet sein. wie ich das allerdings mache ist mir noch ein Raetsel. Ist (x -k) die funktion für die ich die Kriterien zeigen muss?

Gruß
n8Mare

        
Bezug
Isomorphie und ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:36 Do 30.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

> 2.)
>  Sei K ein Körper und k [mm]\in[/mm] K. Zeigen Sie:
>  
> a.)
> Ist U ein Untervektorraum des K-Vektorraumes K[x] und gilt
> xf [mm]\in[/mm] U für alle f [mm]\in[/mm] U, so ist U ein Ideal des Ringes
> K[x].
>  b.)
> Die Menge [mm]I_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

K[x] | f(k) = 0} ist ein Ideal von

> K[x].
>  c.)
> Der Quotientenring K[x]/(x -k) ist ein zu K isomorpher
> Körper.
>  d.)
> Es gilt [mm]I_k[/mm] = (x -k).
>
>  Hallo,
>  Habe gerade Algebra und noch einige Verstaendnissprobleme
>  ich fang mal an
> zu a.)
>  ein Ideal benötigt 3 Kriterien nämlich das es nicht leer
> ist und es additiv & multiplikativ abgeschlossen ist.
>  los gehts...

Genau.

>  Wenn U ein Untervektorraum von K[x] ist so gilt:
>  ( U [mm]\not= \emptyset \wedge[/mm] ( [mm]\forall[/mm] u,f [mm]\in[/mm] U (u + f)
> [mm]\in[/mm] U) [mm]\wedge[/mm] ( [mm]\forall[/mm] u,f [mm]\in[/mm] U(u - f) [mm]\in[/mm] U) denn
> (U,+,-) ist ein Untergruppe von (K[x],+,-). Soviel zur
> additiven Abgeschlossenheit.

Genau.

>  Ferner ist U multiplikativ abgeschlossen da [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm]
> K[x], [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] U (xf [mm]\in[/mm] U) gilt (gegeben und durch
> Untergruppe).

Mit Untergruppe hat das nix zu tun, aber gegeben ist es.

> Wenn ich mich nicht irre reicht das bereits.

Ja.

> zu b.)
>  [mm]I_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

K[x] | f(k) = 0}

>  [mm]\Rightarrow I_k[/mm] = {0}.   Ich hoffe dass das so stimmt.

Nein. Vielleicht meinst du [mm] $\{ 0 \} \subseteq I_k$? [/mm] Denn das Polynom $x - k$ liegt eindeutig in [mm] $I_k$, [/mm] und es ist nicht das Nullpolynom.

>  [mm]\Rightarrow I_k \not= \emptyset[/mm]
>  [mm]\wedge[/mm]

Lass doch bitte das [mm] $\wedge$ [/mm] da weg. Eine einfache Leerzeile reicht :)

> ( [mm]\forall[/mm] u,f [mm]\in[/mm] U ((u + f) [mm]\in[/mm] U) [mm]\wedge[/mm] (u - f) [mm]\in[/mm] U)
>  denn u = 0 [mm]\wedge[/mm] f = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 -0 = 0 + 0 = 0
>  [mm]\Rightarrow[/mm] additive Abgeschlossenheit

Nein, das stimmt nicht (siehe oben, [mm] $I_k$ [/mm] hat noch mehr Elemente).

>  [mm]\wedge[/mm]
> ( [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U, [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] K[x] ((uf) [mm]\in[/mm] U))
>  denn u = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0*f = f*0 = 0
>  [mm]\Rightarrow[/mm] multiplikative Abgeschlossenheit

Das stimmt ebensowenig.

>  [mm]\Rightarrow I_k[/mm] ist ein Ideal von K[x]
>  geht das so?
>  
> c.)
>  für Isomorphie muessen Bijektivität und Homomorphie der
> einfachen und der invertierten Funktion gewaehrleistet
> sein. wie ich das allerdings mache ist mir noch ein
> Raetsel. Ist (x -k) die funktion für die ich die Kriterien
> zeigen muss?

Nein, $x - k$ erzeugt ein Ideal, und $K[x]$ modulo diesem Ideal soll isomorph zu $K$ sein.

Hier ist es am geschicktesten, den Homomorphiesatz zu bemuehen.

Betrachte doch z.B. den Einsetzungshomomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : K[x] [mm] \to [/mm] K$, $f [mm] \mapsto [/mm] f(k)$. Was weisst du ueber diesen?

LG Felix


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