Isomorphie von L-Strukturen < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Fr 26.02.2016 | | Autor: | Mime |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass die folgenden L-Strukturen nicht isomorph sind.
[mm] (\IN, [/mm] <), [mm] (\IZ, [/mm] <) und [mm] (\IQ, [/mm] <) |
Hallo liebes Forum,
ich hätte ein paar Fragen zu solchen Aufgaben.
Grundsätzlich weiß ich:
Um zu zeigen, dass L-Strukturen nicht isomorph sind, reicht es eine Eigenschaft zu finden, die die Strukturen unterscheidet. Diese Eigenschaft muss dann als L-Formel ausgedrückt werden.
Nun zur Aufgabe:
[mm] (\IN, [/mm] <), [mm] (\IZ, [/mm] <)
Meine Überlegung ist, dass es in [mm] (\IZ, [/mm] <) für jede Zahl, eine Zahl gibt die kleiner ist. Dies gilt jedoch nicht in [mm] (\IN, [/mm] <), da es für die Zahl 0 keine kleinere Zahl gibt. Somit sind sie nicht isomorph.
Als L-Formel:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y (y < x)
Stimmt das?
Im Tutorat hatten wir jedoch eine andere Begründung:
[mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (x < y [mm] \vee [/mm] x = y)
Dies soll anscheinend in [mm] (\IN, [/mm] <) gelten, jedoch nicht in [mm] (\IZ, [/mm] <).
Ich finde doch in [mm] (\IZ, [/mm] <) immer eine Zahl, die kleiner ist als alle anderen Zahlen, oder täusche ich mich da?
[mm] (\IN, [/mm] <), [mm] (\IQ, [/mm] <)
Selbe Begründung wie zuvor.
[mm] (\IZ, [/mm] <), [mm] (\IQ, [/mm] <)
Meine Überlegung hier ist, dass es in [mm] (\IQ, [/mm] <) zwischen zwei Zahlen immer eine Zahl gibt (Zwischen 0 und 1 beispielsweise 1/2. In [mm] (\IZ, [/mm] <) ist dies aber nicht der Fall.
Als L-Formel:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y (x < y) [mm] \wedge \exists [/mm] z (x < z [mm] \wedge [/mm] z < y)
Stimmt das?
Im Tutorat hatten wir hier eine ähnliche Begründung (Anstatt [mm] \exists [/mm] y heißt es hier [mm] \forall [/mm] y):
[mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (x < y) [mm] \wedge \exists [/mm] z (x < z [mm] \wedge [/mm] z < y)
Warum ist es hier [mm] \forall [/mm] y und nicht [mm] \exists [/mm] y?
Für den Fall, die L-Struktur sieht folgendermaßen aus: [mm] (\IN, [/mm] +, 0)
Was genau bedeutet die 0? Heißt es einfach, dass man 0 in der L-Formel verwenden darf? Beispiel: [mm] \exists [/mm] x (x + x = 0)?
Ich hab auch noch eine Frage dazu, wie man zeigt, dass zwei L-Strukturen isomorph sind.
Ich weiß, dass zwei Strukturen isomorph (U' = B') sind, wenn es einen Isomorphismus F: U' [mm] \to [/mm] B und eine Bijektion F: A [mm] \to [/mm] B gibt...
Wäre schön, wenn mir das jemand an einem einfachen Beispiel erklären könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen lieben Dank im Voraus!
Mime
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Fr 26.02.2016 | | Autor: | hippias |
> Zeigen sie, dass die folgenden L-Strukturen nicht isomorph
> sind.
>
> [mm](\IN,[/mm] <), [mm](\IZ,[/mm] <) und [mm](\IQ,[/mm] <)
> Hallo liebes Forum,
>
> ich hätte ein paar Fragen zu solchen Aufgaben.
>
> Grundsätzlich weiß ich:
>
> Um zu zeigen, dass L-Strukturen nicht isomorph sind, reicht
> es eine Eigenschaft zu finden, die die Strukturen
> unterscheidet. Diese Eigenschaft muss dann als L-Formel
> ausgedrückt werden.
>
>
> Nun zur Aufgabe:
>
> [mm](\IN,[/mm] <), [mm](\IZ,[/mm] <)
>
> Meine Überlegung ist, dass es in [mm](\IZ,[/mm] <) für jede Zahl,
> eine Zahl gibt die kleiner ist. Dies gilt jedoch nicht in
> [mm](\IN,[/mm] <), da es für die Zahl 0 keine kleinere Zahl gibt.
> Somit sind sie nicht isomorph.
>
> Als L-Formel:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y (y < x)
>
> Stimmt das?
Ja.
>
> Im Tutorat hatten wir jedoch eine andere Begründung:
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (x < y [mm]\vee[/mm] x = y)
>
> Dies soll anscheinend in [mm](\IN,[/mm] <) gelten, jedoch nicht in
> [mm](\IZ,[/mm] <).
> Ich finde doch in [mm](\IZ,[/mm] <) immer eine Zahl, die kleiner
> ist als alle anderen Zahlen, oder täusche ich mich da?
Nein, in [mm] $\IZ$ [/mm] gibt es keine Zahl, die kleiner als anderen Zahlen ist; das ist übrigens auch nicht nicht die Aussage der Formel. Sie besagt: es gibt ein $x$, sodass für alle $y$ gilt ...
>
>
> [mm](\IN,[/mm] <), [mm](\IQ,[/mm] <)
>
> Selbe Begründung wie zuvor.
>
>
> [mm](\IZ,[/mm] <), [mm](\IQ,[/mm] <)
>
> Meine Überlegung hier ist, dass es in [mm](\IQ,[/mm] <) zwischen
> zwei Zahlen immer eine Zahl gibt (Zwischen 0 und 1
> beispielsweise 1/2. In [mm](\IZ,[/mm] <) ist dies aber nicht der
> Fall.
Richtig.
>
> Als L-Formel:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y (x < y) [mm]\wedge \exists[/mm] z (x < z [mm]\wedge[/mm]
> z < y)
Diese Formel bedeutet nicht das, was Du in Worten gesagt hast.
>
> Stimmt das?
>
> Im Tutorat hatten wir hier eine ähnliche Begründung
> (Anstatt [mm]\exists[/mm] y heißt es hier [mm]\forall[/mm] y):
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (x < y) [mm]\wedge \exists[/mm] z (x < z
> [mm]\wedge[/mm] z < y)
>
> Warum ist es hier [mm]\forall[/mm] y und nicht [mm]\exists[/mm] y?
Diese Formel ist falsch. Sie müsste wohl lauten [mm] $\forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y ((x < y) [mm] \rightarrow \exists [/mm] z (x < z [mm] \wedge [/mm] z < y))$. Übersetze die Formel: Für alle $x$ und für alle $y$ gilt: Wenn $x$ kleiner als $y$ ist, dann...
>
>
> Für den Fall, die L-Struktur sieht folgendermaßen aus:
> [mm](\IN,[/mm] +, 0)
Verstehe ich nicht.
> Was genau bedeutet die 0? Heißt es einfach, dass man 0 in
> der L-Formel verwenden darf? Beispiel: [mm]\exists[/mm] x (x + x =
> 0)?
$0$ ist eine Konstante der Struktur. Ich bin irritiert, weil in der Symbolmenge bisher kein Konstantensymbol aufgetaucht ist und es auch nicht benötigt wird. Bringst Du hier Aufgaben durcheinander?
>
>
> Ich hab auch noch eine Frage dazu, wie man zeigt, dass zwei
> L-Strukturen isomorph sind.
>
> Ich weiß, dass zwei Strukturen isomorph (U' = B') sind,
> wenn es einen Isomorphismus F: U' [mm]\to[/mm] B und eine Bijektion
> F: A [mm]\to[/mm] B gibt...
Das verstehe ich nicht. Erkläre einmal, was $U'$ usw. sein sollen.
>
> Wäre schön, wenn mir das jemand an einem einfachen
> Beispiel erklären könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen lieben Dank im Voraus!
> Mime
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Fr 26.02.2016 | | Autor: | Mime |
Vielen Dank für deine Antwort!
> > Im Tutorat hatten wir jedoch eine andere Begründung:
> > [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (x < y [mm]\vee[/mm] x = y)
> >
> > Dies soll anscheinend in [mm](\IN,[/mm] <) gelten, jedoch nicht in
> > [mm](\IZ,[/mm] <).
> > Ich finde doch in [mm](\IZ,[/mm] <) immer eine Zahl, die kleiner
> > ist als alle anderen Zahlen, oder täusche ich mich da?
> Nein, in [mm]\IZ[/mm] gibt es keine Zahl, die kleiner als anderen
> Zahlen ist; das ist übrigens auch nicht nicht die Aussage
> der Formel. Sie besagt: es gibt ein [mm]x[/mm], sodass für alle [mm]y[/mm]
> gilt ...
Okay, das war wohl nicht ganz richtig, was ich überlegt habe. Das ist mir jetzt klar, aber ich habe wohl auch noch Schwierigkeiten beim verstehen von [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y und [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y.
[mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y:
Es existiert mindestens ein x, sodass für alle y gilt...
Verstehe ich das also richtig, dass es mindestens ein x für alle y gibt?
(Z.B. eine Zahl, die kleiner ist als alle anderen)
Oder heißt es, es gibt jeweils mindestens ein x für jedes y?
(Z.B. eine kleinere Zahl für jede Zahl)
[mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y:
Für jedes x existiert mindestens ein y, sodass gilt...
Hier verstehe ich, das es für jedes x ein y gibt.
(Z.B. ebenfalls eine kleinere Zahl für jede Zahl)
Das wäre dann aber das selbe wie oben.
Wäre nett, wenn du mir das nochmal kurz näher erläutern könntest. Ich hab da irgendwo einen Denkfehler.
> > [mm](\IZ,[/mm] <), [mm](\IQ,[/mm] <)
> >
> > Meine Überlegung hier ist, dass es in [mm](\IQ,[/mm] <) zwischen
> > zwei Zahlen immer eine Zahl gibt (Zwischen 0 und 1
> > beispielsweise 1/2. In [mm](\IZ,[/mm] <) ist dies aber nicht der
> > Fall.
> Richtig.
> > Als L-Formel:
> > [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y (x < y) [mm]\wedge[/mm][mm]\exists[/mm] z (x < z [mm]\wedge[/mm] z < y)
> Diese Formel bedeutet nicht das, was Du in Worten gesagt
> hast.
Ich bin mir nicht sicher, aber stimmt die Klammerung vielleicht einfach nicht?
Wäre es so besser:
[mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y ((x < y) [mm]\wedge[/mm][mm]\exists[/mm] z (x < z [mm]\wedge[/mm] z < y))
Für mich heißt es:
Für jedes x existiert ein y, sodass gilt, x ist kleiner als y und es existiert ein z, sodass x kleiner als z und z kleiner als y ist. (Also, dass das z dazwischen liegt.
Wenn es das aber nicht heißt, was ich probiere auszusagen, was heißt es dann?
> > Stimmt das?
> >
> > Im Tutorat hatten wir hier eine ähnliche Begründung
> > (Anstatt [mm]\exists[/mm] y heißt es hier [mm]\forall[/mm] y):
> > [mm]\forall[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (x < y) [mm]\wedge \exists[/mm] z (x < z [mm]\wedge[/mm] z < y)
> >
> > Warum ist es hier [mm]\forall[/mm] y und nicht [mm]\exists[/mm] y?
> Diese Formel ist falsch. Sie müsste wohl lauten [mm]\forall x \forall y ((x < y) \rightarrow \exists z (x < z \wedge z < y))[/mm].
> Übersetze die Formel: Für alle [mm]x[/mm] und für alle [mm]y[/mm] gilt:
> Wenn [mm]x[/mm] kleiner als [mm]y[/mm] ist, dann...
Okay, so macht das Sinn.
> > Für den Fall, die L-Struktur sieht folgendermaßen aus:
> > [mm](\IN,[/mm] +, 0)
> Verstehe ich nicht.
> > Was genau bedeutet die 0?
> > Heißt es einfach, dass man 0 in der L-Formel verwenden darf? Beispiel: [mm]\exists[/mm] x (x + x = 0)?
> [mm]0[/mm] ist eine Konstante der Struktur. Ich bin irritiert, weil
> in der Symbolmenge bisher kein Konstantensymbol aufgetaucht
> ist und es auch nicht benötigt wird. Bringst Du hier
> Aufgaben durcheinander?
Tut mir Leid, hier hätte ich deutlicher machen sollen, dass die Frage nichts mit der Aufgabe zu tun hatte, sondern noch eine zusätzlich Frage ist.
Beispielsweise wenn ich überprüfen soll, ob [mm] (\IN, [/mm] +, 0) und [mm] (\IR, [/mm] +, 0) isomorph sind, da sind die Nullen, wie du gesagt hast Konstantensymbole. Ich weiß aber leider noch nicht, wie ich damit umgehen soll. Bedeutet es einfach, dass ich jetzt, die 0 in meiner L-Formel verwenden darf?
Ich habe mir überlegt, dass man hier ja zeigen kann, dass es in [mm] (\IR, [/mm] +, 0) Inverse gibt, in [mm] (\IN, [/mm] +, 0), aber nicht:
[mm] \exists [/mm] x [mm] (\forall [/mm] y (x + y = y [mm] \wedge \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] z (y + z = x)))
Könnte ich nun anstatt erstmal x als neutral zu definieren, gleich die 0 dafür benutzen?
[mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (y + x = 0)
Und was ist wenn ich z.B. [mm] (\IR, [/mm] +, 0) und [mm] (\IR_{>0}, [/mm] *, 1) habe. Dann sind die Konstanten ja unterschiedlich. Kann ich dann einfach beide verwenden, oder bringen die mir dann nichts und ich muss z.B. ein neutrales Element erst wieder definieren?
> > Ich hab auch noch eine Frage dazu, wie man zeigt, dass zwei
> > L-Strukturen isomorph sind.
> >
> > Ich weiß, dass zwei Strukturen isomorph (U' = B') sind,
> > wenn es einen Isomorphismus F: U' [mm]\to[/mm] B und eine Bijektion
> > F: A [mm]\to[/mm] B gibt...
> Das verstehe ich nicht. Erkläre einmal, was [mm]U'[/mm] usw. sein
> sollen.
Hier war es gestern wohl schon zu spät...
Ich kenne die Definition:
Zwei L-Strukturen A und B heißen isomorph A [mm] \cong [/mm] B, wenn es einen Isomorphismus F: A [mm] \to [/mm] B gibt, eine Bijektion F: A' [mm] \to [/mm] B', die mit den Interpretationen der Zeichen aus L kommutiert:
[mm] F(Z^{A}) [/mm] = [mm] Z^{B} [/mm] (Z eine Konstante aus L)
[mm] F(Z^{A}(a_{1}, [/mm] . . ., [mm] a_{n}) [/mm] = [mm] Z^{B}(F(a_{1}), [/mm] . . ., [mm] F(a_{n})) [/mm] (Z ein n-stelliges Funktionszeichen aus L.
[mm] R^{A}(a_{1}, [/mm] . . ., [mm] a_{n}) \gdw R^{B}(F(a_{1}), [/mm] . . ., [mm] F(a_{n})) [/mm] (Z ein n-stelliges Relationszeichen aus L, [mm] a_{1}, [/mm] . . ., [mm] a_{n} \in [/mm] A)
So wirklich verstehe ich die Definition aber nicht.
Um jetzt zu zeigen, dass zwei Strukturen isomorph sind muss man einen Isomorphismus finden, also eine Funktion, die die Werte aus einer Struktur in die Werte der anderen Struktur umwandelt.
Diese muss immer eine Bijektion sein. Also muss mann dass zeigen, dass die gefundene Funktion injektiv und surjektiv ist.
Des Weiteren muss sie mit den Interpretationen der Zeichen aus L kommutieren.
Das erste wäre ja, wenn ich die Konstante einer Struktur in die Funktion einsetze, die Konstante der anderen Struktur rauskommen muss?
Die anderen beiden verstehe ich leider noch gar nicht.
Wäre super nett, wenn du mir das ganze an einem einfach Beispiel erklären könntest.
Vielen lieben Dank im Voraus,
Mime
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Sa 27.02.2016 | | Autor: | hippias |
Das ist ein schönes Durcheinander. Tue Dir und anderen den Gefallen nicht Fragen zu verschiedenen Aufgaben in einen Faden zu stellen.
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> > > Im Tutorat hatten wir jedoch eine andere Begründung:
> > > [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (x < y [mm]\vee[/mm] x = y)
> > >
> > > Dies soll anscheinend in [mm](\IN,[/mm] <) gelten, jedoch nicht
> in
> > > [mm](\IZ,[/mm] <).
> > > Ich finde doch in [mm](\IZ,[/mm] <) immer eine Zahl, die
> kleiner
> > > ist als alle anderen Zahlen, oder täusche ich mich da?
>
> > Nein, in [mm]\IZ[/mm] gibt es keine Zahl, die kleiner als anderen
> > Zahlen ist; das ist übrigens auch nicht nicht die Aussage
> > der Formel. Sie besagt: es gibt ein [mm]x[/mm], sodass für alle [mm]y[/mm]
> > gilt ...
>
> Okay, das war wohl nicht ganz richtig, was ich überlegt
> habe. Das ist mir jetzt klar, aber ich habe wohl auch noch
> Schwierigkeiten beim verstehen von [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y und
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y.
>
>
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y:
> Es existiert mindestens ein x, sodass für alle y gilt...
>
> Verstehe ich das also richtig, dass es mindestens ein x
> für alle y gibt?
> (Z.B. eine Zahl, die kleiner ist als alle anderen)
Richtig.
>
> Oder heißt es, es gibt jeweils mindestens ein x für jedes
> y?
> (Z.B. eine kleinere Zahl für jede Zahl)
Nein.
>
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y:
> Für jedes x existiert mindestens ein y, sodass gilt...
> Hier verstehe ich, das es für jedes x ein y gibt.
Ja.
> (Z.B. ebenfalls eine kleinere Zahl für jede Zahl)
> Das wäre dann aber das selbe wie oben.
>
>
> Wäre nett, wenn du mir das nochmal kurz näher erläutern
> könntest. Ich hab da irgendwo einen Denkfehler.
>
>
>
> > > [mm](\IZ,[/mm] <), [mm](\IQ,[/mm] <)
> > >
> > > Meine Überlegung hier ist, dass es in [mm](\IQ,[/mm] <)
> zwischen
> > > zwei Zahlen immer eine Zahl gibt (Zwischen 0 und 1
> > > beispielsweise 1/2. In [mm](\IZ,[/mm] <) ist dies aber nicht der
> > > Fall.
>
> > Richtig.
>
> > > Als L-Formel:
> > > [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y (x < y) [mm]\wedge[/mm][mm]\exists[/mm] z (x < z
> [mm]\wedge[/mm] z < y)
>
> > Diese Formel bedeutet nicht das, was Du in Worten gesagt
> > hast.
>
> Ich bin mir nicht sicher, aber stimmt die Klammerung
> vielleicht einfach nicht?
> Wäre es so besser:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y ((x < y) [mm]\wedge[/mm][mm]\exists[/mm] z (x < z [mm]\wedge[/mm]
> z < y))
>
> Für mich heißt es:
> Für jedes x existiert ein y, sodass gilt, x ist kleiner
> als y und es existiert ein z, sodass x kleiner als z und z
> kleiner als y ist. (Also, dass das z dazwischen liegt.
>
> Wenn es das aber nicht heißt, was ich probiere auszusagen,
> was heißt es dann?
Es bedeutet genau das, was Du geschrieben hast. Aber scheinbar hast Du vergessen, was Du ursprünglich sagen wolltest, denn das stimmt, wie bereits erwähnt, nicht mit der Aussage überein, die den Widerspruch zur Isomorphie liefern soll.
Die Aussage [mm] $\forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y ((x < y) [mm] \wedge\exists [/mm] z (x < z [mm] \wedge [/mm] z < y))$ ist ja auch in [mm] $(\IN, [/mm] <)$ gültig
>
>
>
> > > Stimmt das?
> > >
> > > Im Tutorat hatten wir hier eine ähnliche Begründung
> > > (Anstatt [mm]\exists[/mm] y heißt es hier [mm]\forall[/mm] y):
> > > [mm]\forall[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (x < y) [mm]\wedge \exists[/mm] z (x < z
> [mm]\wedge[/mm] z < y)
> > >
> > > Warum ist es hier [mm]\forall[/mm] y und nicht [mm]\exists[/mm] y?
>
> > Diese Formel ist falsch. Sie müsste wohl lauten [mm]\forall x \forall y ((x < y) \rightarrow \exists z (x < z \wedge z < y))[/mm].
> > Übersetze die Formel: Für alle [mm]x[/mm] und für alle [mm]y[/mm] gilt:
> > Wenn [mm]x[/mm] kleiner als [mm]y[/mm] ist, dann...
>
> Okay, so macht das Sinn.
>
>
>
> > > Für den Fall, die L-Struktur sieht folgendermaßen aus:
> > > [mm](\IN,[/mm] +, 0)
>
> > Verstehe ich nicht.
>
> > > Was genau bedeutet die 0?
> > > Heißt es einfach, dass man 0 in der L-Formel verwenden
> darf? Beispiel: [mm]\exists[/mm] x (x + x = 0)?
>
> > [mm]0[/mm] ist eine Konstante der Struktur. Ich bin irritiert, weil
> > in der Symbolmenge bisher kein Konstantensymbol aufgetaucht
> > ist und es auch nicht benötigt wird. Bringst Du hier
> > Aufgaben durcheinander?
>
> Tut mir Leid, hier hätte ich deutlicher machen sollen,
> dass die Frage nichts mit der Aufgabe zu tun hatte, sondern
> noch eine zusätzlich Frage ist.
Naja...
>
> Beispielsweise wenn ich überprüfen soll, ob [mm](\IN,[/mm] +, 0)
> und [mm](\IR,[/mm] +, 0) isomorph sind, da sind die Nullen, wie du
> gesagt hast Konstantensymbole.
Konstantensymbole habe ich zu $0$ nicht gesagt. Konstantensymbole, die ihr scheinbar gerne mit $Z$ bezeichnet, sind Elemente der Symbolmenge, aus denen die (formale) Sprache der Logik aufgebaut ist. Die Konstante $0$ in [mm] $(\IR,0)$ [/mm] ist die Belegung oder Interpretation des Konstantensymbols in der Struktur.
> Ich weiß aber leider noch
> nicht, wie ich damit umgehen soll. Bedeutet es einfach,
> dass ich jetzt, die 0 in meiner L-Formel verwenden darf?
Nein, in den den $L$-Formeln werden Konstantensymbole verwendet, während $0$ die Interpretation bzw. Belegung eines solchen ist.
> Ich habe mir überlegt, dass man hier ja zeigen kann, dass
> es in [mm](\IR,[/mm] +, 0) Inverse gibt, in [mm](\IN,[/mm] +, 0), aber
> nicht:
>
> [mm]\exists[/mm] x [mm](\forall[/mm] y (x + y = y [mm]\wedge \forall[/mm] y [mm]\exists[/mm] z
> (y + z = x)))
>
> Könnte ich nun anstatt erstmal x als neutral zu
> definieren, gleich die 0 dafür benutzen?
>
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y (y + x = 0)
Richtig, wenn Deine Sprache über ein Konstantensymbol verfügt, dann kann man vielleicht Dinge wie ein neutrales Element auch
einfacher Definieren.
In Deiner Aussage [mm] $\exists [/mm] x [mm] (\forall [/mm] y (x + y = y [mm] \wedge \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] z (y + z = x)))$
ist der vordere Teil ausreichend; der hintere, der etwas über die Existenz einer inversen aussagt, gehört nicht dazu.
Ebenso definiert [mm] $\exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y (y + x = 0)$ nicht die Existenz des neutrale Elements, sondern die des Inversen.
>
> Und was ist wenn ich z.B. [mm](\IR,[/mm] +, 0) und [mm](\IR_{>0},[/mm] *, 1)
> habe. Dann sind die Konstanten ja unterschiedlich. Kann ich
> dann einfach beide verwenden, oder bringen die mir dann
> nichts und ich muss z.B. ein neutrales Element erst wieder
> definieren?
Du musst die formale Sprache und ihre Interpretation auseinanderhalten. In der ersten Struktur wird das Konstantensymbol $Z$ als $0$ der reellen Zahlen interpretiert, in der zweiten als $1$ der reellen Zahlen.
>
>
>
> > > Ich hab auch noch eine Frage dazu, wie man zeigt, dass zwei
> > > L-Strukturen isomorph sind.
> > >
> > > Ich weiß, dass zwei Strukturen isomorph (U' = B') sind,
> > > wenn es einen Isomorphismus F: U' [mm]\to[/mm] B und eine Bijektion
> > > F: A [mm]\to[/mm] B gibt...
>
> > Das verstehe ich nicht. Erkläre einmal, was [mm]U'[/mm] usw. sein
> > sollen.
>
> Hier war es gestern wohl schon zu spät...
>
> Ich kenne die Definition:
> Zwei L-Strukturen A und B heißen isomorph A [mm]\cong[/mm] B, wenn
> es einen Isomorphismus F: A [mm]\to[/mm] B gibt, eine Bijektion F:
> A' [mm]\to[/mm] B', die mit den Interpretationen der Zeichen aus L
> kommutiert:
Wieder hast Du nicht $A'$ und $B'$ erklärt. Ich rate dann eben.
>
> [mm]F(Z^{A})[/mm] = [mm]Z^{B}[/mm] (Z eine Konstante aus L)
>
> [mm]F(Z^{A}(a_{1},[/mm] . . ., [mm]a_{n})[/mm] = [mm]Z^{B}(F(a_{1}),[/mm] . . .,
> [mm]F(a_{n}))[/mm] (Z ein n-stelliges Funktionszeichen aus L.
>
> [mm]R^{A}(a_{1},[/mm] . . ., [mm]a_{n}) \gdw R^{B}(F(a_{1}),[/mm] . . .,
> [mm]F(a_{n}))[/mm] (Z ein n-stelliges Relationszeichen aus L,
> [mm]a_{1},[/mm] . . ., [mm]a_{n} \in[/mm] A)
>
>
> So wirklich verstehe ich die Definition aber nicht.
> Um jetzt zu zeigen, dass zwei Strukturen isomorph sind muss
> man einen Isomorphismus finden, also eine Funktion, die die
> Werte aus einer Struktur in die Werte der anderen Struktur
> umwandelt.
Ja.
> Diese muss immer eine Bijektion sein. Also muss mann dass
> zeigen, dass die gefundene Funktion injektiv und surjektiv
> ist.
Ja.
> Des Weiteren muss sie mit den Interpretationen der Zeichen
> aus L kommutieren.
> Das erste wäre ja, wenn ich die Konstante einer Struktur
> in die Funktion einsetze, die Konstante der anderen
> Struktur rauskommen muss?
Ja.
> Die anderen beiden verstehe ich leider noch gar nicht.
>
> Wäre super nett, wenn du mir das ganze an einem einfach
> Beispiel erklären könntest.
Ich würde Dir empfehlen in die Bibliothek zu gehen, um auch in Bücher zum Thema zu schauen. Darin findest Du sicher von Fachleuten ausgearbeitete Beispiele.
Zum Beispiel. [mm] $\nu$ [/mm] sei $1$-stelliges Funktionssymbol, $R$ ein $1$-stelliges Relationssymbol sein.
Betrachte die $S:= [mm] \{\nu, R\}$-Strukturen [/mm] $A= [mm] (\IN,f,X)$ [/mm] und $B= (G,g,Y)$, wobei [mm] $\nu$ [/mm] in $A$ als die Funktion $f(n)=n+1$ interpretiert sei und $X:= [mm] \IN\setminus\{1\}$. [/mm]
In $B$ werde [mm] $\nu$ [/mm] interpretiert als $g(n)= n+2$, wobei $G$ die Menge der geraden natürlichen Zahlen sei und $Y:= [mm] G\setminus\{2\}$.
[/mm]
Ich definiere [mm] $F:\IN\to [/mm] G$ durch $F(n):= 2n$. Offenbar ist $F$ eine Bijektion.
Für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt $F(f(n))= F(n+1)= 2(n+1)= 2n+2=g(2n)= g(F(n))$. Also ist $F$ mit den Funktionsinterpretationen vertauschbar.
Für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt [mm] $F(n)\in Y\iff 2n\in Y\iff n\in [/mm] X$.
>
> Vielen lieben Dank im Voraus,
> Mime
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