Isomorphie von Ringen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Jane |
Hallo,
wie zeige ich, dass zwei Ringe isomoph sind? Muss ich da einen konkreten Ringisomorphismus finden oder kann man das auch aus den Isomorphiesätzen herleiten?
Speziell habe ich einen kommutativen Ring R und einen Unterring (dass das einer ist, hab ich schon gezeigt) S = [mm] {\summe_{i=1}^{n} a_{i}X^{i}| n \in \IN, a_{i} \in R, a_{1}=0} [/mm] von R[X] und soll nun noch zeigen, dass der isomorph ist zu R[X][Y]/(X²-Y³).
Hätte ich eine Idee, wie so eine Abbildung aussieht, könnte ich natürlich über die Axiome für einen Ringhomomorphismus sowie durch Nachweis der Bijektivität die Isomorphie zeigen, aber ich hab keine Idee, wie der aussehen könnte. Im Prinzip müsste ich ja auf irgendwelche Nebenklassen abbilden. Wir haben uns in einem anderen Zusammenhang in der Vorlesung einen Körperisomorphismus gesucht, der lautete f: [mm] \IC--> \IR[X]/(X²+1), [/mm] a+bi --> [mm] \overline{a+bx} [/mm] aber ich kann das nicht übertragen.
Wie gehe ich da jetzt ran, um eine geeignete Abbildung zu finden? Ich bin für jeden Tipp dankbar.
Vielen Dank,
Christiane
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Hallo Jane!
Am besten verwendest Du wirklich den Ismorphiesatz... Du hast also einen Unterring $S$ von $R[X]$ gegeben. Und Du sollst zeigen, dass dieser isomorph ist zu: $R[X,Y] / [mm] (X^2 [/mm] - [mm] Y^3) [/mm] $.
Wie genau ist Dein $S$ definiert? Am einfachsten gibst Du nämlich einen surjektiven Homomorphismus [mm] $\varphi: [/mm] R[X,Y] [mm] \to [/mm] S$ an mit [mm] $ker(\varphi) [/mm] = [mm] (X^2 [/mm] - [mm] Y^3)$. [/mm] Dann bist nämlich fertig.
Viel Erfolg!
Lars
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Erneuter Gruß!
Als weitere Hilfestellung gebe ich mal den Morphismus an:
[mm] $\varphi: [/mm] R[X,Y] [mm] \to [/mm] R[X]$
definiert durch: [mm] $\varphi(X) [/mm] := [mm] X^3$ [/mm] und [mm] $\varphi(Y) [/mm] := [mm] X^2$.
[/mm]
Kannst Du zeigen, dass $S$ gerade das Bild von [mm] $\varphi$ [/mm] ist und dass das von [mm] $(X^2 [/mm] - [mm] Y^3)$ [/mm] erzeugte Ideal der Kern von [mm] $\varphi$ [/mm] ist?
Viel Erfolg! 
Lars
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