Isomorphie zur S_{n} < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Sa 23.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Eine Linksoperation einer Gruppe G auf einer Menge X heißt
> treu, falls es zu jedem g [mm]\not= e_{G}[/mm] in G ein x [mm]\in[/mm] X
> gibt, so dass [mm]g*x\not=x[/mm] gilt.
>
> Eine Gruppe G operiere treu auf einer endlichen Menge X mit
> n Elementen. Zeigen Sie, dass G dann isomorph zu einer
> Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm]S_{n}[/mm] ist.
> Hallo liebe Mitglieder 
>
> Leider habe ich hierzu überhaupt keinen richtigen Ansatz
> zur Lösung dieser Aufgabe...
>
> Wir wissen nur: [mm]gx_{1} \not= x_{1},[/mm] etc.
> Prinzip klar, jedes x [mm]\in[/mm] X wird auf ein anderes Element
> in X abgebildet. Nur ich weiß nicht so wirklich, wie ich
> die Isomorphie herstellen kann.
>
> Hierfür brauchen wir eine Abbildung [mm]\phi:[/mm] G [mm]\rightarrow S_{n}.[/mm]
>
> Nur welche das sein soll....
Ist $g [mm] \in [/mm] G$, so ist die Abbildung [mm] $\varphi_g [/mm] : X [mm] \to [/mm] X$, $x [mm] \mapsto [/mm] g x$ eine Bijektion, also [mm] $\varphi_g \in [/mm] S(X) = [mm] S_n$ [/mm] (wenn $X = [mm] \{ 1, \dots, n \}$).
[/mm]
LG Felix
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Hi, danke
Bin grad dabei, das jetzt aufzuschreiben...
Sei [mm] \varphi_{g}: [/mm] X [mm] \rightarrow [/mm] X, x [mm] \longmapsto [/mm] gx eine bijektive Abbildung, also [mm] \varphi_{g} \in S(X)=S_{n} [/mm] (wenn X = [mm] \{1,...,n\}). [/mm]
Zeige: [mm] \phi: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] S(X), g [mm] \longmapsto \varphi_{g} [/mm] ein Isomorphismus.
[mm] \varphi_{a*b}= [/mm] x [mm] \longmapsto [/mm] (a*b)x=ax*bx
[mm] \varphi_{a}*\varphi_{b}= [/mm] x [mm] \longmapsto [/mm] ax*bx [mm] \Rightarrow \varphi_{a*b}=\varphi_{a}*\varphi_{b}
[/mm]
Sei [mm] e_{G} [/mm] das neutrale Element von G: [mm] \phi(e_{G})=\varphi_{e_{G}}, [/mm] also [mm] \varphi_{e_{G}}: [/mm] x [mm] \longmapsto e_{G}*x=x, [/mm] eine Abbildung, die jedes x [mm] \in [/mm] X auf sich selbst abbildet [mm] \Rightarrow Ker(\phi) [/mm] trivial, also injektiv.
Auch surjektiv da gilt |G|=|S(X)|=n [mm] \Rightarrow [/mm] bijektiv
Also [mm] \phi [/mm] Isomorphismus.
Wäre das halbwegs i.O.?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 26.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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