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Forum "Lineare Abbildungen" - Isomorphismus
Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Isomorphismus: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Di 02.09.2008
Autor: XPatrickX

Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage bzgl Isomorphismen. Wir haben definiert [mm] T:V\to [/mm] W ist ein Isomorphismus, wenn T invertierbar ist. Soweit so gut, d.h. ja dann, dass die Abbildung T auch bijektiv ist (da man sonst keine eindeutige Umkehrabbildung angeben kann). Also kann man Isomorphismus doch auch als eine bijektive Abbildung definieren oder?

Damit T bijektiv sein kann müssen doch die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen oder?

Dann gibts ja noch den Automorphismus, diese Abbildung ist ja auch bijektiv und zusätzlich gilt noch V=W, also [mm] S:V\to [/mm] V.

Meine eigentliche Frage: Wie sieht ein Isomorphismus aus, der kein Automorphismus ist? Z.B. so: [mm] T:V\to [/mm] W mit [mm] V=\IR^n [/mm] und [mm] W=P_{n+1} [/mm] (Raum der Polynome vom Grad n+1) ?? Weil die Räume müssen einerseits ja verschieden sein, andererseits aber die gleiche Dimension haben, also isomorph zueinander sein. Sehe ich das richtig so?

Danke Grüße Patrick

        
Bezug
Isomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Di 02.09.2008
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  ich habe eine allgemeine Frage bzgl Isomorphismen.

hallo,

es geht sicher um isomorphismen zwischen Vektorräumen.

> Wir
> haben definiert [mm]T:V\to[/mm] W ist ein Isomorphismus, wenn T

linear und

> invertierbar ist. Soweit so gut, d.h. ja dann, dass die
> Abbildung T auch bijektiv ist (da man sonst keine
> eindeutige Umkehrabbildung angeben kann). Also kann man
> Isomorphismus doch auch als eine bijektive Abbildung
> definieren oder?

Ja. Ein Vektorraumisomorphismus ist eine bijektv  lineare Abbildung.

>  
> Damit T bijektiv sein kann müssen doch die Dimensionen der
> Vektorräume übereinstimmen oder?

Ja.

Weil ja eine Basis auf eine Basis abgebildet werden muß.

>  
> Dann gibts ja noch den Automorphismus, diese Abbildung ist
> ja auch bijektiv und zusätzlich gilt noch V=W, also [mm]S:V\to[/mm]
> V.
>
> Meine eigentliche Frage: Wie sieht ein Isomorphismus aus,
> der kein Automorphismus ist? Z.B. so: [mm]T:V\to[/mm] W mit [mm]V=\IR^n[/mm]
> und [mm]W=P_{n+1}[/mm] (Raum der Polynome vom Grad n+1) ?? Weil die
> Räume müssen einerseits ja verschieden sein, andererseits
> aber die gleiche Dimension haben, also isomorph zueinander
> sein. Sehe ich das richtig so?

Ja.

Allerdings meinst Du sicher [mm] \IR^{n+1} [/mm] und [mm] P_{n}. [/mm]

Gruß v. Angela

>
> Danke Grüße Patrick


Bezug
                
Bezug
Isomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Di 02.09.2008
Autor: XPatrickX

Danke Dir Angela, dann habe ich das ja größtenteils richtig verstanden.


> Allerdings meinst Du sicher [mm]\IR^{n+1}[/mm] und [mm]P_{n}.[/mm]
>  

Hoppla, ja genau.





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