Isomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper. Zeige dass die Abbildung
[mm] \phi: \IK^3 [/mm] -> [mm] M_{3 \times 3} (\IK), \phi\vektor{x_1 \\ x_1\\x_3}:=\pmat{ 0 & x_1&x_3 \\ -x_1& 0&x_2\\-x_3&-x_2&0 }
[/mm]
einen linearen Insomorphismus auf den Teilraum der schiefsymmetrischen Matrizen definiert. |
Linearität von [mm] \phi [/mm] hab ich schon gezeigt.
Und der Teilraum der schiefsymmetrischen Matrizen ist ein linearer Raum.
Fehlt "nur noch" die Bijektion zu zeigen bzw. die lineare Umkehrfunktion.
Ich komme da aber nicht wirklich auf ein Ergebnis.
Teilraum der schiefsymmetrischen Matrizen = [mm] \{ A \in M_{n x n} (\IK)| A^t=-A\}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Sa 28.01.2012 | | Autor: | pila |
Hey,
Du musst, wie du schon gesagt hast, die bijektiv (surj. und inj.) deiner Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] zeigen. Also
1) surj. von [mm] $\phi$ [/mm] ist klar
2) inj.: Sei nun [mm] $v:=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}, u:=\vektor{u_1 \\ u_2 \\ u_3}$ [/mm] mit
$ [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & v_1 & v_3 \\ -v_1 &0 & v_2 \\ -v_3 & -v_2 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & u_1 & u_3 \\ -u_1 &0 & u_2 \\ -u_3 & -u_2 & 0 } [/mm] = [mm] \phi(u)$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass es injektiv ist. Dies folgt genau dann, wenn aus [mm] $\phi(v) [/mm] = [mm] \phi(u) \Rightarrow [/mm] v = u$ oder der Kern trivial ist, also nur $0 [mm] \in \mathbb{R}^3$ [/mm] ist.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Bijektivität
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Lu- |
1)Mir ist ganz ehrlich gesagt, die Surjektivität nicht ganz klar.
Ist die Begründung: Weil [mm] \pmat{ 0 & x_1 & x_3 \\ -x_1 &0 & x_2 \\ -x_3 & -x_2 & 0 } [/mm] die allgemeine Form einer schiefsymmetrischen Matrix ist?
2)$ [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & v_1 & v_3 \\ -v_1 &0 & v_2 \\ -v_3 & -v_2 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & u_1 & u_3 \\ -u_1 &0 & u_2 \\ -u_3 & -u_2 & 0 } [/mm] = [mm] \phi(u) [/mm] $
<=> [mm] \pmat{ 0 & v_1 & v_3 \\ -v_1 &0 & v_2 \\ -v_3 & -v_2 & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{0 & u_1 & u_3 \\ -u_1 &0 & u_2 \\ -u_3 & -u_2 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0&0 \\ 0 &0 & 0\\0&0&0}
[/mm]
[mm] <=>\pmat{ 0 & v_1-u_1 & v_3-u_3 \\ -v_1+u_1 &0 & v_2-u_2 \\ -v_3 +u_3& -v_2+v_2 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{0&0&0\\0 &0&0\\0&0&0}
[/mm]
d.h. [mm] 0=v_1-u_1 [/mm] <=> [mm] v_1=u_1
[/mm]
0= [mm] v_3 -u_0 [/mm] <=> [mm] v_3 =u_3
[/mm]
0= [mm] v_2 [/mm] - [mm] u_2 [/mm] <=> [mm] v_2 [/mm] = [mm] u_2
[/mm]
dh.$ [mm] v=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{u_1 \\ u_2 \\ u_3}=u
[/mm]
Ist das richtig oder nicht=?
LG
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> 1)Mir ist ganz ehrlich gesagt, die Surjektivität nicht
> ganz klar.
> Ist die Begründung: Weil [mm]\pmat{ 0 & x_1 & x_3 \\
-x_1 &0 & x_2 \\
-x_3 & -x_2 & 0 }[/mm]
> die allgemeine Form einer schiefsymmetrischen Matrix ist?
Hallo,
ja.
Wenn M schiefsymmetrisch ist, hat M diese Gestalt, und [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] wird darauf abgebildet.
>
> 2)[mm] \phi(v) = \pmat{ 0 & v_1 & v_3 \\
-v_1 &0 & v_2 \\
-v_3 & -v_2 & 0 } = \pmat{ 0 & u_1 & u_3 \\
-u_1 &0 & u_2 \\
-u_3 & -u_2 & 0 } = \phi(u)[/mm]
>
> <=> [mm]\pmat{ 0 & v_1 & v_3 \\
-v_1 &0 & v_2 \\
-v_3 & -v_2 & 0 }[/mm]
> - [mm]\pmat{0 & u_1 & u_3 \\
-u_1 &0 & u_2 \\
-u_3 & -u_2 & 0}[/mm]
> = [mm]\pmat{0 & 0&0 \\
0 &0 & 0\\
0&0&0}[/mm]
> [mm]<=>\pmat{ 0 & v_1-u_1 & v_3-u_3 \\
-v_1+u_1 &0 & v_2-u_2 \\
-v_3 +u_3& -v_2+v_2 & 0 }[/mm]
> = [mm]\pmat{0&0&0\\
0 &0&0\\
0&0&0}[/mm]
> d.h. [mm]0=v_1-u_1[/mm] <=> [mm]v_1=u_1[/mm]
> 0= [mm]v_3 -u_0[/mm] <=> [mm]v_3 =u_3[/mm]
> 0= [mm]v_2[/mm] - [mm]u_2[/mm] <=> [mm]v_2[/mm] = [mm]u_2[/mm]
> dh.$ [mm]v=\vektor{v_1 \\
v_2 \\
v_3}=\vektor{u_1 \\
u_2 \\
u_3}=u[/mm]
>
> Ist das richtig oder nicht=?
Es ist richtig.
LG Angela
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Vielen dank ;)
LG
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