Isomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 So 06.01.2013 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Seien V, W endlich erzeugte K-Vektorräume und f: V->W ein injektiver Homomorphismus.
Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist, falls dimV = dimW. |
Hallo Leute,
hab mir schon ein paar Gedanken gemacht, erstmal wenn f injektiv ist, besteht der Ker(f) ja nur aus dem neutralen Element, also dimKer(f)=1, mit der Dimensionsformel folgt also:
dimV=1+Bild(f)
Für den Isomorphismus muss ich ja nur noch Surjektivität zeigen, aber wie mache ich das?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 06.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien V, W endlich erzeugte K-Vektorräume und f: V->W ein
> injektiver Homomorphismus.
> Zeigen Sie, dass f ein Isomorphismus ist, falls dimV =
> dimW.
> Hallo Leute,
>
> hab mir schon ein paar Gedanken gemacht, erstmal wenn f
> injektiv ist, besteht der Ker(f) ja nur aus dem neutralen
> Element,
Ja, Kern(f)={ 0 }
> also dimKer(f)=1,
Nein, das stimmt nicht, sondern dimKer(f)=0
> mit der Dimensionsformel folgt
> also:
>
> dimV=1+Bild(f)
nein. Sondern:
(*) dimV=dim Bild(f)
>
> Für den Isomorphismus muss ich ja nur noch Surjektivität
> zeigen, aber wie mache ich das?
Das folgt aus (*)
FRED
>
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 06.01.2013 | | Autor: | AntonK |
dimV=dimBild(f) ist doch das gleiche wie dimV=dimW oder?
Wieso folgt daraus direkt die Surjektivität?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 06.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> dimV=dimBild(f) ist doch das gleiche wie dimV=dimW oder?
>
> Wieso folgt daraus direkt die Surjektivität?
nach Vor. ist dimV = dimW
Weiter wissen wir: dimV=dimBild(f)
Damit ist dimW=dimBild(f)
Da alles endlichdim. ist, folgt:W=Bild(f)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 06.01.2013 | | Autor: | AntonK |
Das sagt mir also automatisch, dass zu jedem y [mm] \in [/mm] W ein x [mm] \in [/mm] V existiert mit f(x)=y?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das
ist mit "das" die Aussage [mm] $W=\text{Bild}(f)$ [/mm] gemeint?
> sagt mir also automatisch, dass zu jedem y [mm]\in[/mm] W ein x
> [mm]\in[/mm] V existiert mit f(x)=y?
Na, es ist doch [mm] $f\colon [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ und es ist [mm] $\text{Bild}(f)=\{w \in W:\;\exists v \in V \text{ mit }f(v)=w\}\;\;(\subseteq W)\,.$
[/mm]
Soll ich jetzt wirklich sagen: Beweise, dass $f: V [mm] \to [/mm] W$ sicher dann
(eigentlich sogar: genau dann(!)) surjektiv ist, wenn [mm] $W=\text{Bild}(f)$ [/mm]
gilt? (Sogar den Beweis der "genau-dann-wenn-Formulierung" hier kann
man ja fast im Kopf durchspielen. Aber okay: Beweise uns das nun mal,
einfach rein der Übung wegen. Und es reicht beim Beweis, dass $V [mm] \not=\emptyset$
[/mm]
IRGENDEINE Menge ist, ebenso sei $W [mm] \not=\emptyset$ [/mm] IRGENDEINE Menge
und zudem sei [mm] $f\colon [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ IRGENDEINE Abbildung zwischen diesen
beiden nichtleeren Mengen.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Mo 07.01.2013 | | Autor: | AntonK |
Ah natürlich, das is ja das Bild(f), danke euch!
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