Isomorphismus , Jordan NF < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 24.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
| Aufgabe | Seien n,k [mm] \in\IN_+. [/mm] Sei [mm] \f: \IC^n \to \IC^n [/mm] ein Isomorphismus und [mm] \IC^n [/mm] besitze eine Basis aus Eigenvektoren von .
Besitzt [mm] \IC^n [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von ?
[mm] \mathit{Hinweis:} [/mm] Verwenden Sie die Jordansche Normalform |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin mir bei der Aufgabe nicht sicher..
ich würde den Beweis per Induktion versuchen...
wegen dem Isomorphismus bzw. der Bijektivität kann ich doch schon sagen das [mm] \IC^n [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von hat oder?
Aber ich versteh nicht was die Jordan Normalform damit zu tun haben soll :/...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 24.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien n,k [mm]\in\IN_+.[/mm] Sei [mm]\f: \IC^n \to \IC^n[/mm] ein
> Isomorphismus und [mm]\IC^n[/mm] besitze eine Basis aus
> Eigenvektoren von .
> Besitzt [mm]\IC^n[/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von ?
> [mm]\mathit{Hinweis:}[/mm] Verwenden Sie die Jordansche Normalform
>
> ich bin mir bei der Aufgabe nicht sicher..
> ich würde den Beweis per Induktion versuchen...
Induktion brauchst du hier (erstmal) nicht.
> wegen dem Isomorphismus bzw. der Bijektivität kann ich
> doch schon sagen das [mm]\IC^n[/mm] eine Basis aus Eigenvektoren von
> hat oder?
Nein. Warum sollte das so sein? Wenn $f$ etwa die Abbildungsmatrix [mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }$ [/mm] hat, dann ist es sehr wohl ein Isomorphismus, jedoch keinesfalls diagonalisierbar -- und eine Basis von Eigenvektoren haben ist aequivalent dazu, diagonalisierbar zu sein.
> Aber ich versteh nicht was die Jordan Normalform damit zu
> tun haben soll :/...
Wann ist eine Matrix in Jordanscher Normalform ein Isomorphismus? Wie sehen die Potenzen eines Jordanblocks aus? Wie die Potenzen einer Matrix in JNF?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 25.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
ja na die Matrix in JNF ist ja ein Isomorphismus wenn sie invertierbar ist.
die Potenzen sind ja die Dimension der Eigenräume hoch die Dimension des Vektorraums. Achso, weil ich ja zur Bestimmung der JNF einer Matrix [mm] \in \IC [/mm] ja mir immer eine Basis wähle und deren Vektoren ja als Dimension des Eigenräume definiert sind kann ich ja sagen das die Matrix eine Basis aus Eigenvektoren besitzt oder?
also diagonalisierbar ist die Matrix dann doch wenn alle Kästen der JNF die Größe 1 haben..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 26.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
kann mir jemand vielleicht bei meinem problem helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 26.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ja na die Matrix in JNF ist ja ein Isomorphismus wenn sie
> invertierbar ist.
Und wann ist eine Matrix in JNF invertierbar?
> die Potenzen sind ja die Dimension der Eigenräume hoch
> die Dimension des Vektorraums. Achso, weil ich ja zur
Das ist Quark.
Potenzen von 2 sind z.B. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, oder allgemein [mm] $2^n$.
[/mm]
Potenzen einer Matrix sind also...?
> Bestimmung der JNF einer Matrix [mm]\in \IC[/mm] ja mir immer eine
> Basis wähle und deren Vektoren ja als Dimension des
> Eigenräume definiert
Das macht so keinen Sinn.
> sind kann ich ja sagen das die Matrix
> eine Basis aus Eigenvektoren besitzt oder?
Nein.
> also diagonalisierbar ist die Matrix dann doch wenn alle
> Kästen der JNF die Größe 1 haben..
Ja, das stimmt. Aber erstmal faengst du mit einer beliebigen JNF an. Du weisst, dass irgendeine Potenz davon diagonalisierbar ist, und du weisst, dass die JNF invertierbar ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 26.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
also sei M [mm] \in \IC^{n\times n} [/mm] die Abbildungsmatrix, dann wäre doch M diagonalisierbar, da nach Vorraussetzung [mm] \IC^n [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Somit wäre doch schonmal M diagonalisierbar. Für die JNF von M kann ich doch jetzt sagen für den Spezialfall das M diagonalisierbar
das wobei J (JNF von M) die Diagonalmatrix ist, welche ja trivialerweise selbst auch diagonalisierbar ist. für [mm] M^n [/mm] würde dann doch auch gelten [mm] M^n=T*J^n*T^{-1}. [/mm] Also wär doch J für [mm] n\ge [/mm] 1 diagonalisierbar oder? könnte natürlich sein dass ich mich auch total in die falsche richtung bewege...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 27.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
kann mir jemand sagen ob ich mich in die richtige richtung bewege, wäre sehr hilfreich für mich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 27.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> also sei M [mm]\in \IC^{n\times n}[/mm] die Abbildungsmatrix, dann
> wäre doch M diagonalisierbar, da nach Vorraussetzung [mm]\IC^n[/mm]
> eine Basis aus Eigenvektoren besitzt.
Lies dir doch bitte mal die Aufgabenstellung durch. Da steht: [mm] $\IC^n$ [/mm] besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von [mm] $f^k$. [/mm] Da steht nichts von $f$ oder von $M$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 27.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
ok also kann ich sagen eine bel. matrix in JNF ist diagonalisierbar für die n-te potenz oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 27.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
damit wüsste ich doch dann das für [mm] J^n=T*A^n*T^{-1} [/mm] mit A ähnlich ist.
Somit hat [mm] A^n [/mm] gleiche Eigenvektoren wie [mm] J^n [/mm] und da sich durch wurzelziehen die Eigenvektoren nicht ändern, müsste doch [mm] J^1 [/mm] die gleichen Eigenvektoren haben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:49 Di 28.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> damit wüsste ich doch dann das für [mm]J^n=T*A^n*T^{-1}[/mm] mit A
> ähnlich ist.
Wenn es hinten [mm] $A^n$ [/mm] lauten sollte, dann ja.
> Somit hat [mm]A^n[/mm] gleiche Eigenvektoren wie [mm]J^n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und da sich
> durch wurzelziehen die Eigenvektoren nicht ändern, müsste
Wie kommst du dadrauf? Hast du dir das einfach ausgedacht? Oder kannst du begruenden, warum das so sein sollte?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Di 28.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
Also das weiß ich doch weil [mm] A^n [/mm] eine Diagonalmatrix ist und somit beim Wurzelziehen sich zwar die Eigenwerte ändern aber die Eigenvektoren zu den Eigenwerten gleichbleichen, oder?
und die [mm] J^n [/mm] müsste dann doch auch eine Diagonalmatrix sein, da wenn die jordanblöcke größer 1 sein würden die JNF doch gar nicht mehr diagonalisierbar wär...
zum thema invertierbarkeit der JNF würde mir nur einfallen, dass dann doch die Spalten-/Zeilenvektoren von J Basis von [mm] \IC^n [/mm] wär
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Di 28.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also das weiß ich doch weil [mm]A^n[/mm] eine Diagonalmatrix ist
> und somit beim Wurzelziehen sich zwar die Eigenwerte
> ändern aber die Eigenvektoren zu den Eigenwerten
> gleichbleichen, oder?
Vermutest du das? Oder kannst du es auch begruenden? Und was sagst du zu folgendem Gegenbeispiel:
$A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }$ [/mm] ist nicht diagonalisierbar, jedoch ist [mm] $A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }$ [/mm] bereits eine Diagonalmatrix, also insb. diagonalisierbar.
> und die [mm]J^n[/mm] müsste dann doch auch eine Diagonalmatrix
> sein, da wenn die jordanblöcke größer 1 sein würden
> die JNF doch gar nicht mehr diagonalisierbar wär...
[mm] $J^n$ [/mm] ist nicht automatisch die JNF von [mm] $A^n$.
[/mm]
> zum thema invertierbarkeit der JNF würde mir nur
> einfallen, dass dann doch die Spalten-/Zeilenvektoren von J
> Basis von [mm]\IC^n[/mm] wär
Sagt dir "Determinante" irgendetwas?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Di 28.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ok also kann ich sagen eine bel. matrix in JNF ist
> diagonalisierbar für die n-te potenz oder nicht?
Kannst du das mal etwas praeziser ausdrucken? Lautet deine Frage etwa:
"Ist $A$ eine beliebige Matrix in (beliebiger) JNF, ist dann [mm] $A^n$ [/mm] fuer ein $n$ diagonalisierbar?"
Die Antwort darauf ist: nein.
Oder war die Frage:
"Wir haben also eine Matrix $A$ in (beliebiger) JNF, und es gibt ein $n$ mit [mm] $A^n$ [/mm] diagonalisierbar?"
Die Antwort darauf ist: ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mo 27.06.2011 | | Autor: | tobbi05 |
kann mir jemand sagen ob das ansatzweise richtig oder falsch ist?
wäre sehr hilfreich
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