Isomorphismus gesucht < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 So 14.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Ich finde einfach keine Lösung für folgendes Problem, vielleicht könnt ihr mir helfen.
Geben sie einen Isomorphismus an zwischen Mn(R[x]), dem Ring der nxn Matrizen mit Eintragungen im Polynomring R[x], und Mn(R)[x], dem Polynomring in einer Unbestimmten mit Koeffizienten in Mn(R).
(R ist kommutativer Ring mit Eins)
vielen Dank im Vorraus
mfg Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Morgen!
Vielleicht mal eine Idee... angenommen, Du hast ein $f [mm] \in M_n [/mm] (R) [X]$ gegeben, das heißt doch $f = [mm] \sum_{k=0}^m A_k X^k$ [/mm] wobei die [mm] $A_k$ [/mm] einfach $(n [mm] \times [/mm] n$)-Matrizen mit Koeffizienten in $R$ sind.
Jetzt kannst Du einfach das $X$ als "Skalar" behandeln - und das Bild Deiner Abbildung definieren als das, was herauskommt, wenn Du eine Matrix daraus machst.
Formal: Angenommen [mm] $A_k [/mm] = [mm] (a_{ij}^k)_{i,j}$, [/mm] dann definierst Du Deinen Isomorphismus in spe [mm] $\Phi [/mm] : [mm] M_n(R)[X] \to M_n(R[X])$ [/mm] durch
[mm] $\Phi [/mm] (f) = [mm] \Phi (\sum_{k=0}^m A_k X^k [/mm] := B$
wobei die Matrix $B [mm] \in M_n(R[X])$ [/mm] definiert ist durch:
[mm] $b_{ij} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^m a_{ij}^k X^k$
[/mm]
In jedem Eintrag ensteht das $B$ also durch "Hereinziehen" der $X$ Potenzen in die Matrizen und anschließendes Aufaddieren.
Dass das nun einen Isomorphismus liefert, ist nun Deine Aufgabe. Ist das bijektiv? Wie sieht die Umkehrabbildung aus? Verträgt sich das mit den Strukturen der Ringe?
Viel Erfolg!
Lars
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