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| Aufgabe | Seien V ein K-Vektorraum und U,W zwei Unterräume von V.
V = U [mm] \oplus [/mm] W.
Zeige: Es gibt einen Isomorphismus [mm] \phi: [/mm] V/U [mm] \to [/mm] W. |
Hallo.
Ich bin gerade an der Bearbeitung dieser Aufgabe und komme nicht so wirklich weiter.
Zu zeigen gilt es ja, dass [mm] \phi [/mm] ein 1. Homomorphismus und 2. bijektiv ist.
Für 1. habe ich dies hier:
[mm] \phi: [/mm] [v] [mm] \mapsto [/mm] v
(i) [mm] \phi([v_1 [/mm] + [mm] v_2]) [/mm] = [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] = [mm] \phi([v_1]) [/mm] + [mm] \phi([v_2])
[/mm]
(ii) [mm] \phi(\lambda*[v]) [/mm] = [mm] \lambda*v [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \phi([v])
[/mm]
Zu 2.:
(i) Injektivität:
Hier muss ich ja zeigen, dass [mm] \phi([v_1]) [/mm] = [mm] \phi([v_2]) \Rightarrow [v_1] [/mm] = [mm] [v_2]
[/mm]
Es gilt ja [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2.
[/mm]
Aber hier hänge ich jetzt. Ich muss ja vermutlich die Vorraussetzung der direkten Summe anwenden oder?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Schon mal Danke und
viele Grüße
Ludolf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien V ein K-Vektorraum und U,W zwei Unterräume von V.
> V = U [mm]\oplus[/mm] W.
> Zeige: Es gibt einen Isomorphismus [mm]\phi:[/mm] V/U [mm]\to[/mm] W.
> Hallo.
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> Ich bin gerade an der Bearbeitung dieser Aufgabe und komme
> nicht so wirklich weiter.
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> Zu zeigen gilt es ja, dass [mm]\phi[/mm] ein 1. Homomorphismus und
> 2. bijektiv ist.
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> Für 1. habe ich dies hier:
> [mm]\phi:[/mm] [v] [mm]\mapsto[/mm] v
>
> (i) [mm]\phi([v_1[/mm] + [mm]v_2])[/mm] = [mm](v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm] =
> [mm]\phi([v_1])[/mm] + [mm]\phi([v_2])[/mm]
> (ii) [mm]\phi(\lambda*[v])[/mm] = [mm]\lambda*v[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\phi([v])[/mm]
>
> Zu 2.:
> (i) Injektivität:
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> Hier muss ich ja zeigen, dass [mm]\phi([v_1])[/mm] = [mm]\phi([v_2]) \Rightarrow [v_1][/mm]
> = [mm][v_2][/mm]
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> Es gilt ja [mm]v_1[/mm] = [mm]v_2.[/mm]
> Aber hier hänge ich jetzt. Ich muss ja vermutlich die
> Vorraussetzung der direkten Summe anwenden oder?
>
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> Kann mir jemand weiterhelfen?
So wie Du [mm] \phi [/mm] def. hast , wird das nichts ! Es soll doch [mm] \phi([v]) \in [/mm] W sein !!
Ist v [mm] \in [/mm] V, so gibt es, wegen V = U $ [mm] \oplus [/mm] $ W, eindeutig bestimmte u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W mit
v=u+w.
Definiere nun die Abb. [mm] \phi:V/U \to [/mm] W durch:
[mm] \phi([v]):=w.
[/mm]
Jetzt ist zu zeigen:
1. [mm] \phi [/mm] ist wohldefiniert, dh. : ist [mm] v_1=u_1+w_1 [/mm] und [mm] v_2=u_2+w_2 [/mm] und [mm] [v_1]=[v_2], [/mm] so ist [mm] w_1=w_2.
[/mm]
2. [mm] \phi [/mm] ist linear
3. [mm] \phi [/mm] ist injektiv und surjektiv.
FRED
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> Schon mal Danke und
> viele Grüße
>
> Ludolf
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für die schnelle Antwort!
Mit [mm] \phi([v]) [/mm] = w
Bleibt der Beweis für die Linearrität ja fast gleich:
[mm] \phi([v_1] [/mm] + [mm] [v_2]) [/mm] = [mm] (w_1 [/mm] + [mm] w_2) [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] = [mm] \phi([v_1]) [/mm] + [mm] \phi([v_2])
[/mm]
und
[mm] \phi(\lambda*[v_1]) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] w_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \phi([v_1])
[/mm]
Natürlich gilt [mm] \phi([v_1]) [/mm] = [mm] w_1 [/mm] und [mm] \phi([v_2]) [/mm] = [mm] w_2.
[/mm]
Mit der Bijektivität und der Wohldefiniertheit habe ich aber noch Probleme. Hast du mir da ein Ansatz?
Danke nochmals
Ludolf
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High,
die Wohldefiniertheit muss überprüft werden, weil wir hier die Bilder von Äquivalenzklassen über die Bilder ihrer Repräsentanten definieren.
D.h.: Schau dir das "Kriterium für die Gleichheit von Nebenklassen" an - wann sind zwei Nebenklassen gleich?
Seien dann [mm] v_1 [/mm] + U, [mm] v_2 [/mm] + U gleiche Nebenklassen mit (i.A.) unterschiedlichen Repräsentanten [mm] v_1, v_2. [/mm] Zu zeigen ist, dass da auch die gleiche Nebenklasse rauskommt (also das Kriterium ein zweites Mal anwenden).
Die Surjektivität musst du glaube ich ganz herkömmlich "zu Fuß" beweisen: Sei w € W. Zu zeigen: Es existiert eine Nebenklasse v + U, so dass das Bild von v + U gerade w ist.
Für die Injektivität ist bei solchen Beweisen oft das Monomorphiekriterium hilfreich (Homomorphismen sind genau dann injektiv, wenn ihr Kern trivial ist).
LG
brahms84
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Hmm...jetzt bin ich glaube ich komplett verwirrt :D
Also Nebenklassen sind gleich wenn die Differenz der Repräsentanten aus U ist. Hier also [mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2 \in [/mm] U und [mm] v_2 [/mm] - [mm] v_1 \in [/mm] U.
Aber warum denn U und nicht V/U? Wenn die Nebenklasse gleich sind ist die Wohldefiniertheit gezeigt? Das verstehe ich irgendwie nicht.
Tut mir leid. Kannst du mir das nochmals erklären?
Grüße
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Hi,
also man muss ja zeigen, dass, wenn man "gleiche" Elemente in die Abbildung einsetzt, dann auch das gleiche herauskommt.
Nun sind aber zwei Nebenklassen uU bereits dann gleich, wenn ihre Repräsentanten unterschiedlich sind.
Daher muss man zwei solche gleichen Nebenklassen [mm] v_1+U [/mm] = [mm] v_2+U [/mm] in die Abbildung einsetzen und überprüfen, dass [mm] Phi(v_1) [/mm] = [mm] Phi(v_2).
[/mm]
LG
brahms84
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Ah so langsam wird es klarer.
Ich definiere mir also zwei Nebenklassen [mm] v_1 [/mm] + U und [mm] v_2 [/mm] + U mit [mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2 \in [/mm] U und eben umkehrt. Dann gilt folglich [mm] v_1 [/mm] + U = [mm] v_2 [/mm] + U und jetzt muss ich zeigen, dass dann [mm] \phi(v_1) [/mm] = [mm] \phi(v_2) [/mm] gilt.
Wie gehe ich da vor? Oder ist das gar nicht richtig so?
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> Ah so langsam wird es klarer.
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> Ich definiere mir also zwei Nebenklassen [mm]v_1[/mm] + U und [mm]v_2[/mm] +
> U mit [mm]v_1[/mm] - [mm]v_2 \in[/mm] U und eben umkehrt. Dann gilt folglich
> [mm]v_1[/mm] + U = [mm]v_2[/mm] + U und jetzt muss ich zeigen, dass dann
> [mm]\phi(v_1)[/mm] = [mm]\phi(v_2)[/mm] gilt.
>
> Wie gehe ich da vor? Oder ist das gar nicht richtig so?
Hallo,
was Du sagst, ist halbrichtig.
Du mußt für die Wohldefiniertheit zeigen, daß für [mm] [v_1]=[v_2] auch\Phi([v_1])=\Phi([v_2]) [/mm] gilt.
Sei also [mm] [v_1]=[v_2], [/mm] dh [mm] $v_1$ [/mm] + U = [mm] $v_2$ [/mm] + U, also [mm] $v_1$ [/mm] - [mm] $v_2 \in$ [/mm] U.
Nun mußt Du vorrechnen, daß [mm] \Phi([v_1])=\Phi([v_2]).
[/mm]
Hierzu ist sicher die Direktheit der Summe von U und W zu verwenden:
man kann die [mm] v_i [/mm] eindeutig schreiben als [mm] v_i=u_i+w_i...
[/mm]
LG Angela
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