Isomorphismus (von Z-Moduln) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 17.06.2008 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Seien 0 < m,n [mm] \in \IZ, [/mm] ggT(m,n) = d. Zeigen sie, dass
[mm] Hom_{\IZ}(\IZ/m\IZ,\IZ/n\IZ) \cong \IZ/d\IZ [/mm] als [mm] \IZ [/mm] - Moduln.
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Hi,
hab schon einiges versucht aber ich komm nicht drauf wie ich eine Funktion definieren soll damit das hinhaut!!?!?
[mm] \IZ/d\IZ [/mm] hat doch d Elemente! und hat nicht [mm] Hom_{\IZ}(\IZ/m\IZ,\IZ/n\IZ) [/mm] min{n,m} Elemente??
Hab auch versucht eine Abb. [mm] \IZ \to Hom_{\IZ}(\IZ/m\IZ,\IZ/n\IZ) [/mm] mit
Kern = [mm] d\IZ [/mm] zu finden hat auch nicht funktioniert.
tja und jetzt fällt mir nichts mehr ein! ich hoffe jemand hat ein Tipp für mich!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 17.06.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Seien 0 < m,n [mm]\in \IZ,[/mm] ggT(m,n) = d. Zeigen sie, dass
> [mm]Hom_{\IZ}(\IZ/m\IZ,\IZ/n\IZ) \cong \IZ/d\IZ[/mm] als [mm]\IZ[/mm] -
> Moduln.
> hab schon einiges versucht aber ich komm nicht drauf wie
> ich eine Funktion definieren soll damit das hinhaut!!?!?
Hast du dir das vielleicht auch schon mal für einen konkreten Fall wie m = 8 und n = 6 zusammengebaut? Da müßte das doch überschaubar sein.
> [mm]\IZ/d\IZ[/mm] hat doch d Elemente! und hat nicht
> [mm]Hom_{\IZ}(\IZ/m\IZ,\IZ/n\IZ)[/mm] min{n,m} Elemente??
Nee, hat es nicht, versuch mal, das Beispiel durchzuziehen. Überleg dir vorher noch, wie Z/mZ als Z-Modul erzeugt wird. Was folgt daraus?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 17.06.2008 | | Autor: | Pawelos |
> > hab schon einiges versucht aber ich komm nicht drauf wie
> > ich eine Funktion definieren soll damit das hinhaut!!?!?
>
> Hast du dir das vielleicht auch schon mal für einen
> konkreten Fall wie m = 8 und n = 6 zusammengebaut? Da musste
> das doch überschaubar sein.
Ja Tatsache gibt nur 2 mögliche Abb.
verstehe auch warum das so ist, sonst wird das m nicht auf die Null abgebildet.
und deswegen wird die [1] immer auf ein vielfaches von n/d abgebildet!?
und davon gibt es in [mm] \IZ/n\IZ [/mm] genau d Stück! daher gibt es genau d Homomorphismen.
ich denke jetzt verstehe ich warum die Dinger isomorph sind!!!
vielleicht noch ein Tipp? wie man das ordentlich beweist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Mi 18.06.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ja Tatsache gibt nur 2 mögliche Abb.
>
> verstehe auch warum das so ist, sonst wird das m nicht auf
> die Null abgebildet.
> und deswegen wird die [1] immer auf ein vielfaches von n/d
> abgebildet!?
> und davon gibt es in [mm]\IZ/n\IZ[/mm] genau d Stück! daher gibt es
> genau d Homomorphismen.
>
> ich denke jetzt verstehe ich warum die Dinger isomorph
> sind!!!
Dann solltest du den schwierigeren Teil der Aufgabe bewältigt haben. Was man wirklich verstanden hat, müßte man auch hinschreiben können. Also gib den Isomorphismus f einfach(?) an und weise nach, daß es einer ist.
Also: Wir setzen [mm] f(\phi) [/mm] := ???, dann Homomorphismus + Bijektivität
Viel Spaß, du weißt ja, wo man dir bei Bedarf hilft.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Pawelos |
> Dann solltest du den schwierigeren Teil der Aufgabe
> bewältigt haben. Was man wirklich verstanden hat, müßte man
> auch hinschreiben können. Also gib den Isomorphismus f
> einfach(?) an und weise nach, daß es einer ist.
>
> Also: Wir setzen [mm]f(\phi)[/mm] := ???, dann Homomorphismus +
> Bijektivität
>
> Viel Spaß, du weißt ja, wo man dir bei Bedarf hilft.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
hi
hab jetzt mittlerweile einiges ausprobiert aber ich weiß immer noch nicht wie ich f definieren soll.
[mm]f(\phi)[/mm] = [ d/n * [mm] \phi([1]) [/mm] ] wehre eine Möglichkeit aber d/n existiert ja eigentlich nicht.
würde es nicht reichen zu zeigen das es genau d Hom. gibt aber da hab ich auch das Problem zu zeigen das es keine außer solche, für die gilt:
f([1]) = x [n/d] x [mm] \in [/mm] {0,...,d-1}
es gibt zwar nur diese aber ich kann das ja nicht einfach behaupten!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 18.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> hab jetzt mittlerweile einiges ausprobiert aber ich weiß
> immer noch nicht wie ich f definieren soll.
Auf die Schnelle:
In [mm] \IZ/n\IZ [/mm] gibt es eine eindeutig bestimmte Untergruppe D der Ordnung d. Die nimmst du zusammen mit einem Isom. [mm] \psi: [/mm] D [mm] \to \IZ/d\IZ.
[/mm]
Dann setzt du [mm] f(\phi) [/mm] := [mm] \psi(\phi(1)) [/mm] und mußt jetzt zeigen, daß das alles paßt.
Viel Spaß dabei
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Pawelos |
Hi
> Dann setzt du [mm]f(\phi)[/mm] := [mm]\psi(\phi(1))[/mm] und mußt jetzt
> zeigen, daß das alles paßt.
ich muss aber zeigen das [mm] \phi(1) \in [/mm] D ist und da habe ich die ganze zeit die Probleme. Sonst ist f ja nicht wohldefiniert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Fr 20.06.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich muss aber zeigen das [mm]\phi(1) \in[/mm] D ist und da habe ich
> die ganze zeit die Probleme. Sonst ist f ja nicht
> wohldefiniert
Diese Antwort kommt leider verspätet, sorry.
Du kannst d als Linearkombination darstellen: d = r*m + t*n
Dann ist [mm] d*\phi(1) [/mm] = [mm] \phi(d) [/mm] = [mm] \phi(r*m [/mm] + t*n) = [mm] r*\phi(0) [/mm] + [mm] n*\phi(t) [/mm] = r*0 + [mm] 0*\phi(t) [/mm] = 0
Andererseits ist D = {x [mm] \in [/mm] Z/n | d*x = 0} = {0, n/d, 2*n/d, ... , (d-1)*n/d}
[mm] \Rightarrow \phi(d) \in [/mm] D
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Ich habe alles auf 'beantwortet' gesetzt, du kannst aber natürlich gerne weitere Fragen stellen..
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