Ist K_{i} eine lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Für i=1, 2, 3 seien die folgenden Abbildungen [mm] K_{i} [/mm] definiert.
[mm] K_{1}: \IR^{2} \to \IR^{2}; \vmat{ v_{1} \\ v_{2} } \mapsto \vmat{ v_{1} \\ (v_{2})^{2} }
[/mm]
[mm] K_{2}: \IR^{2} \to \IR^{2}; \vmat{ v_{1} \\ v_{2} } \mapsto \vmat{ 2v_{1} + v_{2} \\ 4v_{1} + v_{2} }
[/mm]
[mm] K_{3}: \IR^{2} \to \IR^{2}; \vmat{ v_{1} \\ v_{2} } \mapsto \vmat{ v_{1} + 1 \\ v_{1} + 1 }
[/mm]
Beantworten Sie für i = 1, 2, 3 die folgenden Fragen:
1. Ist [mm] K_{i} [/mm] eine lineare Abbildung?
2. Ist [mm] Bild(K_{i}) [/mm] = [mm] {K_{i}v | v \in \IR^{2}} [/mm] ein linearer Untervektorraum (Teilraum) von [mm] \IR^{2}?
[/mm]
Falls ja, dann bestimmen Sie eine Basis des [mm] Bild(K_{i}). [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich muss leider gleich nochmal eine Unklarheit posten, da ich jetzt ein wenig unter Zeitdruck gerate... Normalerweise ist diese Woche meine Gruppenpartnerin für die Hausaufgaben zuständig, nur ist diese leider verhindert. Abgabe ist - wie Murphys Gesetze es so wollen - natürlich morgen!
Nun sitze ich hier seit Stunden und komme einfach nicht weiter!
Was genau wird denn als Antwort für 1. verlangt? Ein Ja oder Nein reicht ja sicherlich nicht aus. Und so absolut ohne Werte kann ich mit den Abbildungen nicht viel anfangen. Es kommt doch drauf an, was ich für [mm] v_{1} [/mm] oder [mm] v_{2} [/mm] einsetze, oder?
Ich weiß, dass lineare Abhängigkeit bedeutet, dass [mm] L(\vec{v}) [/mm] = A [mm] \vec{v} [/mm] ist. Aber da fängt schon die Unverständnis an. Wahrscheinlich auch, weil ich im Hinterkopf habe, dass ich heute damit fertig sein muss...
PLEASE HELP!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Di 16.11.2010 | | Autor: | himbrom |
Hallo,
aus der Bedingung [mm]L(v)=Av[/mm] folgt, dass
[mm]L(\lambda{}v)=A\lambda{}v=\lambda{}Av=\lambda{}L(v)[/mm]
für alle [mm]\lambda\in\mathbb{R}[/mm] ist. Das geht für [mm]v=(0,1)[/mm] und [mm]\lambda\neq{}0[/mm] bei [mm]K_1[/mm] sicherlich schief.
Aus der obigen Gleichung folgt für [mm]\lambda=0[/mm] aber, dass [mm]L(0)=0[/mm] ist, was bei [mm]K_3[/mm] nicht klappt. [mm]K_2[/mm] wird dagegen von der Matrix [mm]\left(\begin{array}{cc}2&1\\4&1\end{array}\right)[/mm] dargestellt. Probiere es aus, indem Du diese Matrix mit [mm]\left(\begin{array}{c}v_1\\v_2\end{array}\right)[/mm] multiplizierst!
Schaut man sich die Bilder [mm]{\rm bild}\,K_i[/mm] an, so bekommt man für [mm]K_1[/mm] die obere Halbebene (sicherlich kein Untervektorraum, da z.B. [mm](0,1)[/mm] drin liegt, aber [mm]-(0,1)=(0,-1)[/mm] nicht), für [mm]K_3[/mm] bekommt man den Untervektorraum [mm]{\rm span}(1,1)[/mm]. Bei [mm]K_2[/mm] bekommt man geschenkt, dass das Bild ein Untervektorraum ist, weil das für das Bild jeder lin. Abbildung gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
vielen dank erstmal für die Antwort. Ich gehe nachher nochmal darauf ein. Bin aber Grad Mobil im Netz um zu gucken ob schon eine Antwort gepostet wurde. Muss noch HundeFutter kaufen. Oh man nur Stress...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Di 16.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Also ich glaube ich habe schon im Fundament ein Verständnisproblem...
Was genau bezeichnet "L"? Ist L einfach das Zeichen für Abbild? Aber das ist doch sicherlich A!
Und dann noch eine Frage: die gegebenen Vektoren von [mm] K_{i}... [/mm] es stehen ja keine Zahlen drin, sondern nur [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2}. [/mm] Das sind also einfach nur Platzhalter für beliebige Zahlen? Es könnte also auch x oder y dort stehen, ja?
Und was genau ist mit [mm] \mapsto [/mm] gemeint? Ist damit die Linearkombination gemeint?
Und nochmal kurz für mich... linear abhängig sind die Vektoren, wenn ich sie mit einem Koeffizienten multiplizieren kann und die dann den Nullvektor ergeben? Gilt das dann nicht für jeden Vektor, wenn ich als Koeffizient 0 nehme?
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Mi 17.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass nur einer von euch die aufgaben löst ist schon mal ein schlechtes Omen für dein Studium. a-->b heisst a wird auf b abgebildet.
L(a) ist ein Symbol fur: a wird linear abgebildet. damit es linear ist muss gelten wenn L(a)=b ist muss [mm] L(\lambda *a)=\lambda*b [/mm] sein. und L(a)+L(b)=L(a+b)
das kannst du jetzt für die 3 Abbildungen nachprüfen. indem du statt meiner a und b deine vektoren einsetzt. v1,v2 kannst du auch u1,u2 oder x,y nennen.
Vektoren a,b,c sind lin unabhängig wenn die gleichung r*a+s*b+t*c=0 NUR mit r=s=t=0 gelöst werden kann. ( sie sind abh. wenn es mindestens eins der r,s,t ungleich 0 gibt, so dass die gl. erfüllt ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:34 Mi 17.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Ach so. Also ich schreibe jetzt quasi als Beweis:
[mm] L(v_{1})+L(v_{2})=L(v_{1}+(v_{2})^{2}
[/mm]
und das ist ja schon nicht richtig, oder?
Und dann noch:
[mm] L(\lambda\vec{v_{1}}=\lambda\vec{v_{1}}
[/mm]
Das funktioniert aber nicht, da:
[mm] a\vec{v_{1}}+b\vec{v_{2}}=0
[/mm]
[mm] a\vec{v_{1}}+b(\vec{v_{2}})^{2}=0
[/mm]
nur für a=b=0 gilt, richtig?
Denn es gibt ja kein b, für das der Vektor quadriert wird. Soweit richtig?
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Hallo,
> Ach so. Also ich schreibe jetzt quasi als Beweis:
>
> [mm]L(v_{1})+L(v_{2})=L(v_{1}+(v_{2})^{2}[/mm]
Nein, zum einen heißen deine Abbildungen [mm]K_i[/mm], zum anderen musst du (für [mm]K_1[/mm]) zeigen oder widerlegen:
[mm]K_1\left(\vektor{u_1\\
u_2}+\vektor{v_1\\
v_2}\right)=K_1\left(\vektor{u_1\\
u_2}\right)+K_1\left(\vektor{v_1\\
v_2}\right)[/mm]
>
> und das ist ja schon nicht richtig, oder?
Ja, die Gleichung gilt i.A. nicht.
Zeige das!
> Und dann noch:
>
> [mm]L(\lambda\vec{v_{1}}=\lambda\vec{v_{1}}[/mm]
> Das funktioniert aber nicht, da:
>
> [mm]a\vec{v_{1}}+b\vec{v_{2}}=0[/mm]
> [mm]a\vec{v_{1}}+b(\vec{v_{2}})^{2}=0[/mm]
Was hast du da aufgeschrieben?
Ich verstehe es nicht!
Zu zeige oder widerlegen ist [mm]K_1\left(\lambda\cdot{}\vektor{v_1\\
v_2}\right)=\lambda\cdot{}K_1\left(\vektor{v_1\\
v_2}\right)[/mm]
>
> nur für a=b=0 gilt, richtig?
> Denn es gibt ja kein b, für das der Vektor quadriert
> wird. Soweit richtig?
Gruß
schachuzipus
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