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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Ist f eine Abbildung?
Ist f eine Abbildung? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ist f eine Abbildung?: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:52 Mo 08.11.2004
Autor: spaceshark

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Gegeben:
M={1,2,3,4} und N={1,2,3}
Sei f:  [mm] \cal{P}(M) \to \cal{P}(N) [/mm] definiert durch f(A) = A [mm] \backslash \{4\} [/mm] für alle A Element P(M)

Frage:
Ist f eine Abbildung?
Ist f eine injektive Abbildung?
Ist f eine surjektive Abbildung?

        
Bezug
Ist f eine Abbildung?: Eigene Ideen?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:51 Mo 08.11.2004
Autor: Marc

Hallo spaceshark!

Wie wär's mal mit eigenen Ideen/Ansätzen oder konkreten Fragen?

Viele Grüße,
Marc

Bezug
        
Bezug
Ist f eine Abbildung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Mo 08.11.2004
Autor: spaceshark

Ok, bin zwar nicht weit gekommen aber ich poste mal was ich habe:

Zuerst habe ich die Potenzmenge von M und N gebildet:

P(M)=  { [mm] \emptyset, [/mm]  {1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3,4} }


P(N)=  { [mm] \emptyset, [/mm]  {1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }

Die 1. Frage würde ich mal mit JA beantworten.
Zwar sind so gesehen nicht alle Elemente von M in N enthalten (4), aber duch die Definition von f(A) wird ja gesagt ohne Element 4 "...\ {4}).
Stimmt das, oder wi kann man das besser formuliern (falls es stimmt)?

Weiter komm ich nicht...

Bezug
                
Bezug
Ist f eine Abbildung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mo 08.11.2004
Autor: spezies_64738

1. Frage: Ist es eine Abbildung?
Dazu ist zu überprüfen, ob jedem Element der Urbildmenge [mm] = Pow(M) [/mm] tatsächlich ein Element der Bildmenge [mm] Pow(N) [/mm] zugeordnet wird.
Betrachte dazu einmal ein Element aus [mm] Pow(M) [/mm]. Solche Elemente sehen immer so aus, dass sie Beliebig 1,2,3 und/oder 4 enthalten (oder leer sind).  Jetzt entferne die 4 und du siehst, dass es Mengen sind, die nur noch 1,2 und/oder 3 enthalten (oder wieder leer sind), also in [mm]Pow(N)[/mm] liegen.
Damit ist die Abbildung wohldefiniert.

2. Frage ist sie injektiv?
Zu übeprüfen ist, ob es 2 (oder mehr) elemente aus [mm]Pow(M) [/mm] gibt, die auf das gleiche Bild abgebildet werden. Betrachte Beispielsweise [mm] \{1,4\} [/mm] und [mm] \{1\}[/mm].

3. Surjektivität.
Zu überprüfen: Gibt es zu jedem element der Bildmenge ein Urbild?
Nimm dir mal ein solches Element und füge 4 hinzu...




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