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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Di 30.12.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo, ich habe mal bitte eine Frage zum lösen einer Gleichung mithilfe von Iteration (Ich habe diese Frage in ähnlicher Form schon einmal gestellt, aber leider finde ich den Post nicht mehr).
Folgende Gleichung ist gegeben (liegender zylindrischer Tank).
[mm] V=r^{2}L[arccos(\bruch{r-h}{r})-(r-h)\bruch{\wurzel{2rh-h^{2}}}{r^{2}}]
[/mm]
Mein Problem ist jetzt das ich diese Gleichung "nach h" umstellen möchte. Alle anderen Variablen seien bekannt.
Mir ist bewusst das mein Vorhaben nicht "einfach ist". Und mir wurde schon einmal gesagt das dies auch nur mit Iteration (bzw. vergleichbaren Methoden durchführbar ist).
Eine Iteration sollte ich noch hinbekommen aber mir fehlt sozusagen der "erste Tipp" wie ich dieser näher komme. "Also wie ich die Gleichung umstellen muss damit ich ein näherungsverfahren anwenden kann".
Könnte mir evtl. bitte jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank schon einmal.
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Umstellen nach [mm]h[/mm]? Das ist nicht nur nicht einfach, das ist unmöglich. Man kann natürlich ein Näherungsverfahren anwenden. Praktikabel dürfte das aber nur sein, wenn [mm]L,V,r[/mm] konkret als Zahlen gegeben sind. Ich versuche es einmal mit dem Newton-Verfahren.
Um die Sache zu vereinfachen, substituiere ich zunächst [mm]t = r-h[/mm]. Dann lautet die Gleichung, als Nullstellenproblem formuliert:
[mm]f(t) = 0 \ \ \text{mit} \ \ f(t) = Lr^2 \cdot \arccos \frac{t}{r} - Lt \cdot \sqrt{r^2 - t^2} - V[/mm]
Für das Newton-Verfahren brauchen wir die Ableitung:
[mm]f'(t) = -2L \cdot \sqrt{r^2 - t^2}[/mm]
Die Iteration nach Newton erfolgt mittels der Funktion [mm]\varphi(t) = t - \frac{f(t)}{f'(t)}[/mm]. Hier ist das
[mm]\varphi(t) = \frac{1}{2} \cdot \left( t + \frac{Lr^2 \cdot \arccos \frac{t}{r} - V}{L \cdot \sqrt{r^2 - t^2}} \right)[/mm]
Mit dieser Funktion kannst du die Nullstelle [mm]t[/mm] iterativ bestimmen. Du beginnst mit einem Startwert [mm]t_0[/mm], der nahe genug bei der gesuchten Nullstelle liegen sollte. Du mußt also schon eine Ahnung haben, wo du suchen mußt. Dann berechnest du iterativ
[mm]t_{n+1} = \varphi (t_n) \, , \ n \geq 0[/mm]
Die Folge der [mm]t_n[/mm] strebt dann gegen die Nullstelle.
Ein Beispiel: [mm]L=1, \, V=26, \, r=8[/mm]
[mm]\varphi(t) = \frac{1}{2} \cdot \left( t + \frac{64 \cdot \arccos \frac{t}{8} - 26}{\sqrt{64 - t^2}} \right)[/mm]
Mit [mm]t_0 = 4[/mm] bekomme ich auf 15 Stellen genau:
[mm]t_1 \approx 4{,}96040992975830[/mm]
[mm]t_2 \approx 5{,}00767249789139[/mm]
[mm]t_3 \approx 5{,}00781471310803[/mm]
[mm]t_4 \approx 5{,}00781471440911[/mm]
[mm]t_5 \approx 5{,}00781471440911[/mm]
Somit ist [mm]t = 8-h \approx 5{,}0078[/mm], also [mm]h \approx 2{,}9922[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 30.12.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank für deine Antwort.
Sorry, ich hatte wohl einen Fehler.
Ich bin doch richtig in der Annahme das ich "arccos in RAD (Bogenmaß) umstellen muss" und ich nicht "mit DEG (Grad rechnen darf", oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 01.01.2015 | | Autor: | chrisno |
In der Analysis rechnest Du immer im Bogenmaß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 31.12.2014 | | Autor: | Ice-Man |
Kann ich das Verfahren auch anwenden wenn ich "nicht genau weis wo die Nullstelle liegen könnte"?
Oder sollte ich da ein anderes Näherungsverfahren anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Do 01.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du gar keine Ahnung hast, wo die Nullstelle zu suchen ist, wird es schwierig. Sobald Du mindestens einen Vorzeichenwechsel entdecken kannst, die Funktion stetig ist und keine Definitinslücke in dem Bereich hat, wird Dich das Bisektionsverfahren zum Ziel führen. Aber auch dann erwischst Du sicher nur eine Nullstelle.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 02.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ice-Man!
Es kommt immer darauf an ob das gewählte Verfahren konvergiert.
Je nach Startwert kannst du verschiedene Nullstellen bzw. sogar
Divergenz erhalten. Zum Newton-Verfahren lies z.B. ![[]](/images/popup.gif) das hier.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Do 01.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank nochmal für eure Hilfe.
Aber ich habe dann bitte nochmal eine Frage zur Berechnung mit konkreten Zahlen.
Gegeben ist ein ungefüllter liegender Tank (zylindrische Form) mit einem Volumen von [mm] 30m^{3} [/mm] und einem Durchmesser von 1,6m. Daraus resultiert ja eine Länge von 14,92m.
Dieser Zylinder soll nun mit 12000 l Wasser befüllt werden. Wie hoch ist der Füllstand im Behälter.
Ich habe jetzt das gleiche Rechenverfahren angewendet.
Beim Newtonverfahren habe ich mit einem Startwert von 10 gerechnet und erhalte eine "Nullstelle" von -12.2158 (das erscheint mir allerdings schon ein wenig "komisch").
Anschließend rechne ich weiter und erhalte als Füllhöhe 92,2 cm. (Das kann aber ja nicht stimmen). Nur leider weis ich absolut nicht wo mein Fehler liegt.
Ein anderes Beispiel wäre auch wenn ich mit einem Füllvolumen von 15000 l rechnen würde. Da müsste ich doch theoretisch als Füllhöhe den halben Tankdurchmesser erhalten, oder? Nur diese Höhe erhalte ich leider auch nicht.
Könnte mir evtl. jemand (aus meinen spärlichen Informationen) sagen wo mein Fehler ist bzw. was ich falsch mache?
Dafür wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Do 01.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank nochmal für eure Hilfe.
> Aber ich habe dann bitte nochmal eine Frage zur Berechnung
> mit konkreten Zahlen.
> Gegeben ist ein ungefüllter liegender Tank (zylindrische
> Form) mit einem Volumen von [mm]30m^{3}[/mm] und einem Durchmesser
> von 1,6m. Daraus resultiert ja eine Länge von 14,92m.
> Dieser Zylinder soll nun mit 12000 l Wasser befüllt
> werden. Wie hoch ist der Füllstand im Behälter.
Hallo,
wenn du die 12000 l = 12m³ durch die Länge 14,92 m teilst, bekommst du die Querschnittsfläche A des Wasserstandes.
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment
Gleich die erste Flächenformel kannst du umstellen zu 2A/r²=[mm]\alpha-sin(\alpha)[/mm]. Dieser Winkel [mm]\alpha[/mm] sollte mit einem Näherungsverfahren deiner Wahl relativ einfach zu ermitteln sein, und mit einer der im Wiki-Artikel noch folgenden Formeln kommst du dann damit an die Höhe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 01.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Danke für deine Nachricht.
Verstehe ich dich richtig das du das wie folgt meinst?
[mm] \bruch{2A}{r^{2}}=\alpha-sin(\alpha)
[/mm]
[mm] \bruch{2A}{r^{2}}=t
[/mm]
[mm] 0=t+sin(\alpha)-\alpha
[/mm]
[mm] f(\alpha)=t+sin(\alpha)-\alpha
[/mm]
[mm] f'(\alpha)=cos(\alpha)
[/mm]
Und das würde ich jetzt mit "Newton" annähern?
Wäre das ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 So 04.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Also das wäre dann ja,
[mm] \varphi(\alpha)=\alpha-\bruch{f(\alpha)}{f'(\alpha)}
[/mm]
oder verwechsel ich da jetzt total was?
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Hallo Ice-Man,
> Also das wäre dann ja,
>
> [mm]\varphi(\alpha)=\alpha-\bruch{f(\alpha)}{f'(\alpha)}[/mm]
>
> oder verwechsel ich da jetzt total was?
Nein, da verwechselt Du nichts.
Gruss
MathePower
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Mit [mm]V=12, \, r=0{,8}, \, L=14{,}92[/mm] und dem Startwert [mm]t_0 = 0{,}5[/mm] bekomme ich
[mm]t_1 \approx 0{},065000680363588[/mm]
[mm]t_2 \approx 0{,}125910542999468[/mm]
[mm]t_3 \approx 0{,}12616247673607[/mm]
[mm]t_4 \approx 0{,}126162483142812[/mm]
[mm]t_5 \approx 0{,}126162483142812[/mm]
und damit
[mm]h \approx 0{,}673837516857188[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Fr 02.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Ich danke euch für eure zahlreiche Hilfe. Ich hatte nur einen kleinen Rechenfehler, und jetzt erhalte ich auch die gleichen Ergebnisse.
Doch darf ich bitte noch eine allgemeine Frage stellen...
Ist es prinzipiell egal mit welchem "Zahlenwert ich beim Näherungsverfahren starte" oder gibt es da bestimmte Dinge zu beachten?
Danke nochmal.
Wenn diese Frage allerdings schon beantwortet wurde bitte ich das zu entschuldigen da ich das dann überlesen habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:40 Sa 03.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Wenn diese Frage allerdings schon beantwortet wurde bitte
> ich das zu entschuldigen da ich das dann überlesen habe.
Kein Problem, hier.
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Für eine sinnvolle Aufgabenstellung muß [mm]V < \pi r^2 L[/mm] sein. Die Funktion
[mm]f(t) = Lr^2 \cdot \arccos \frac{t}{r} - L t \cdot \sqrt{r^2 - t^2} - V[/mm]
ist definiert für [mm]t \in [-r,r][/mm] und streng monoton fallend, wie die Ableitung [mm]f'(t) = -2L \sqrt{r^2 - t^2}[/mm] zeigt. Es ist [mm]f(-r) = \pi r^2 L - V > 0[/mm] und [mm]f(r) = -V < 0[/mm]. Nimmt man den Zwischenwertsatz hinzu, erkennt man, daß [mm]f[/mm] genau eine Nullstelle besitzt. Ich vermute, daß das Newton-Verfahren mit dem Startwert [mm]t_0 = 0[/mm] immer zur gesuchten Nullstelle konvergiert.
Ich habe die Berechnung mit EXCEL angehängt.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:32 So 04.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Darf ich bitte noch einmal eine Frage zur Iteration stellen...?
Wenn ich das doch richtig verstehe dann ist doch der Rechenweg wie folgt.
[mm] \varphi(t)=t-\bruch{f(t)}{f'(t)}=t-\bruch{Lr^{2}*arccos\bruch{t}{r}-Lt*\wurzel{r^{2}-t^{2}}-V}{-2L*\wurzel{r^{2}-t^{2}}}=\bruch{1}{2}*(t+\bruch{Lr^{2}*arccos(\bruch{t}{r})-V}{L*\wurzel{r^{2}-t^{2}}})
[/mm]
Stimmt das?
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Warum hast du das Argument des Arcuscosinus quadriert? Ein Schreibfehler?
Ansonsten sehe ich nur den Ansatz und das Ende einer Rechnung. Einen Rechenweg kann ich nicht erkennen, also auch nicht beurteilen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 04.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, das war nur ein Schreibfehler von mir.
Nur mein Problem ist einfach das ich nicht "sehe bzw. verstehe" wie der Term [mm] Lt*\wurzel{r^{2}-t^{2}} [/mm] von der 1.Gleichung zur 2. Gleichung eliminiert wird.
Es muss sich dabei doch um "kürzen" handeln, oder?
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[mm]\frac{A+B-C+D-E}{F} = \frac{A}{F} + \frac{B}{F} - \frac{C}{F} + \frac{D}{F} - \frac{E}{F}[/mm]
Brüche mit gleichem Nenner werden addiert/subtrahiert, indem man die Zähler addiert/subtrahiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 04.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Du meinst doch das, oder...?
[mm] \varphi(t)=t+\bruch{Lr*arccos(\bruch{t}{r})}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}-\bruch{Lt\wurzel{r^{2}-t^{2}}}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}-\bruch{V}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}
[/mm]
[mm] \varphi(t)=t+\bruch{Lr*arccos(\bruch{t}{r})}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}-\bruch{t}{2}-\bruch{V}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}
[/mm]
[mm] \varphi(t)=t+\bruch{Lr*arccos(\bruch{t}{r})-V}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}-\bruch{t}{2}
[/mm]
[mm] \varphi(t)=\bruch{2t}{2}+\bruch{Lr*arccos(\bruch{t}{r})-V}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}-\bruch{t}{2}
[/mm]
[mm] \varphi(t)=\bruch{t}{2}+\bruch{Lr*arccos(\bruch{t}{r})-V}{2L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}
[/mm]
[mm] \varphi(t)=\bruch{1}{2}[t+\bruch{Lr*arccos(\bruch{t}{r})-V}{L\wurzel{r^{2}-t^{2}}}]
[/mm]
So müsste es doch dann passen, oder?
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Fast. Gehe noch einmal die 2en am Schluß durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 So 04.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, da war eine 2 zu viel.
Das war irgendwie ein Formatierfehler meinerseits.
Aber jetzt sollte es passen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 04.01.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Jetzt passt es hoffentlich ;).
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
