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Hallo zusammen,
egal welches Buch ich mir schnappe und die Definition von Ito--Integralen sehe, sind diese auf einfachen Prozessen eingefuehrt und spaeter stetig fortgesetzt (klar). Was mich wundert ist, dass saemtliche Autoren die simplen Prozesse linksstetig waehlen, aber keine wirkliche Legitimation dafuer bringen, warum anstatt
[mm]X_s = \sum_{k=1}^{N-1} H_k \mathds{1}_{(t_k, t_{k+1}]}[/mm]
nicht auch
[mm] X_s = \sum_{k=1}^{N-1} H_k \mathds{1}_{[t_k, t_{k+1})} [/mm]
geht.
Gibt es da ein schoenes Bsp. wo man sehen kann, dass es schief gehen wuerde? Oder ist das wirklich einfach Geschmackssache?
Danke schonmal!
lG
Kai
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Hiho,
die einen Prozesse sind vorhersehbar (predictable), die anderen nicht.
Und das Itô-Integral lässt sich nur für vorhersehbare Prozesse definieren.
Gruß,
Gono.
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Ja aber warum laesst sich die Definition nur auf vorhersehbare Prozesse anwenden?
Ich fange mit einfachen Prozessen der Gestalt
[mm] X_s = \sum_{k=1}^{N-1} H_k \mathds{1}_{[t_k, t_{k+1})} [/mm]
an.
Dann sind diese Prozesse dicht in den Raum der rechtsstetigen Prozesse.
Ich definiere fuer diese einfachen Prozesse ein Integral:
[mm] I(X,Y)_s = \sum_{k=1}^{N-1} H_k ( Y_{t_{k+1}\wedge s} - Y_{t_k \wedge s} ) [/mm]
Wohldefiniert ist es, ebenso wie das "uebliche" Ito-Integral.
Bitte versteht meine Frage nicht falsch, ich kenne die Konstruktion des Ito-Integrals, mir geht es einfach darum, warum man nicht auch so wie ich oben beschrieben habe ein sinnvolles Integral definieren kann?!
Mir fallen ein paar etwas unangenehmere Eigenschaften ein, aber keine wirklichen Huerden...
Und sobald meine Filtration z.B. rechtsstetig ist (was ja eig. immer angenommen wird), ist das obige Integral auch wieder adaptiert...
Danke schonmal!
lG
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 21.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo zusammen,
die Frage von oben ist immernoch aktuell.
Hat jemand eine Idee?
Danke schonmal!
lG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Sa 31.08.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich meine mich dunkel erinneren zu können, dass es unter anderem wegen der Martingaleigenschaft so definiert wird. Keine Garantie, habe gerade auch keine Zeit die Aussage zu überprüfen. Kann auch sein, dass ich mich da jetzt irre.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Fry |
Hallo Kai,
wenn du den rechten Endpunkt verwendest, ist das stochastische Integral kein Martingal mehr.
Vgl. dazu Kuo: Introduction to Stochastic Integration, Kapitel 4.1 (Background and Motivation), S.40
LG
Christian
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Ersteinmal danke für die Antworten!
Das Stratonovich Integral ist ebenfalls kein Martingale mehr (zumindest nicht unbedingt), und dennoch wird es betrachtet. Ich verwende aber nichteinmal den rechten Eckpunkt! Ich verwende immernoch die linke Intervallgrenze, ich definiere bloß ausgehend von anderen simplen Prozessen! Normalerweise nimmt an linksstetig simple Prozesse, ich würde jedoch gerne rechtsstetige verwenden.
Und sobald die Filtration rechtsstetig ist, ist das Integral was ich meine wieder ein Martingal!
lG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 11.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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