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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 So 10.06.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Gesucht ist die Jordanische Normalform von:
A:= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3} [/mm] |
Nun, ich hab zuerst das char. Polynom bestimmt:
p(t):= [mm] (2-t)^{2}*(3-t)^{2}
[/mm]
Daraus folgen die Eigenwerte 2 und 3. Dann habe ich die Eigenräume bestimmt:
Eig(A,2)=<(1,0,0,0)>
Eig(A,3)=<(1,1,1,0),(0,0,0,1)>
Jetzt weiß ich, dass es 2 Jordenblöcke mit der Länge 2 geben muss. Außerdem hat der Jordanblock zum EW 2 1xJordankästchen, und der Jordanblock zum EW 3 2xJordankästchen. Ich hätte nun folgende JNF-Matrix bestimmt:
J1:= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
Wobei ich mir da bei den 2 Jordankästchen bei EW 3 unsicher bin.
Jedenfalls spuckt der Computer diese JNF aus:
J2:= [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
Ich hätte jetzt aber gesagt, dass es sich hierbei um 3 Jordanblöcke handelt. Hat das Ergebnis jetzt was mit den 2 Jordankästchen zutun? Oder war meine Annahme, dass es nur 2 Jordanblöcke gibt falsch? Ich bitte um Hilfe.
Grüße
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Hallo Pauli85,
> Gesucht ist die Jordanische Normalform von:
> A:= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3}[/mm]
>
> Nun, ich hab zuerst das char. Polynom bestimmt:
> p(t):= [mm](2-t)^{2}*(3-t)^{2}[/mm]
> Daraus folgen die Eigenwerte 2 und 3. Dann habe ich die
> Eigenräume bestimmt:
> Eig(A,2)=<(1,0,0,0)>
> Eig(A,3)=<(1,1,1,0),(0,0,0,1)>
>
> Jetzt weiß ich, dass es 2 Jordenblöcke mit der Länge 2
> geben muss. Außerdem hat der Jordanblock zum EW 2
> 1xJordankästchen, und der Jordanblock zum EW 3
> 2xJordankästchen. Ich hätte nun folgende JNF-Matrix
> bestimmt:
> J1:= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3}[/mm]
>
> Wobei ich mir da bei den 2 Jordankästchen bei EW 3
> unsicher bin.
> Jedenfalls spuckt der Computer diese JNF aus:
> J2:= [mm]\pmat{ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3}[/mm]
>
> Ich hätte jetzt aber gesagt, dass es sich hierbei um 3
> Jordanblöcke handelt. Hat das Ergebnis jetzt was mit den 2
> Jordankästchen zutun? Oder war meine Annahme, dass es nur
> 2 Jordanblöcke gibt falsch? Ich bitte um Hilfe.
>
Es ist richtig, daß es insgesamt 3 Jordanblöcke gibt.
Da die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 2 gleich 1 ist,
und die algebraische Vielfachheit desselben Eigenwertes 2 ist,
gibt es einen Jordanblock der Größe 2.
Da die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 3 gleich 2 ist,
und die algebraische Vielfachheit desselben Eigenwertes 2 ist,
gibt es zwei Jordanblöcke der Größe 1.
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 10.06.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Vielen Dank erst einmal.
Ich habe gelernt, dass die algebraische Vielfachheit die Größe des Jordanblocks ist. Das ist so also falsch? Die Größe des Jordanblocks hängt auch mit der geometrischen Vielfachheit zusammen, richtig?
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Hallo Pauli85,
> Vielen Dank erst einmal.
> Ich habe gelernt, dass die algebraische Vielfachheit die
> Größe des Jordanblocks ist. Das ist so also falsch? Die
Ja.
> Größe des Jordanblocks hängt auch mit der geometrischen
> Vielfachheit zusammen, richtig?
Die Anzahl der Jordanblöcke hängt
mit der geometrischen Vielfachheit zusammen.
Grus
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 So 10.06.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Alles klar, danke!
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