JOR-Verfahren, Spektralradius < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:05 Mo 01.11.2010 | | Autor: | steffenhst |
| Aufgabe | A(u) sei gegeben mit A(u) = [mm]\pmat{ 1 & u & -u\\
\-u & 1 & u\\
u & -u & 1}[/mm], u [mm]\in \IR[/mm].
Berechnen Sie den Spektralradius für die Iterationsmatrix des JOR-Verfahrens angewandt auf A(u). Für welche u > 0 konvergiert das JOR-Verfahren bei festem u. |
Hallo an alle,
ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe; vielleicht habt ihr einen Tipp. Doch zunächst: Die Iterationsmatrix des JOR-Verfahren ist gegeben durch (I ist dabei die Einheitsmatrix)
IT = (1-w)I + w*B,
dabei ist w der Relaxationsfaktor und B = [mm]D^{-1} (L + U)[/mm], wobei D, L, U der Diagnolanteil, L der echte untere Dreiecksmatrixanteil und U der echte obere Dreiecksmatrixanteil von A ist. Es gilt also: A = D - L - U =
[mm]\pmat{ 1 & u & -u\\
-u & 1 & u\\
u & -u & 1} = \pmat{ 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1} - \pmat{ 0 & 0 & 0\\
u & 0 & 0\\
-u & u & 0} - \pmat{ 0 & -u & u\\
0 & 0 & -u\\
0 & 0 & 0} [/mm].
Setzt man das ein, dann muss man, um den Spektralradius zu bestimmen, die Eigenwerte von IT bzw.
[mm]\pmat{ 1-w & -uw & uw\\
uw & 1-w & -uw\\
-uw & uw & 1-w} [/mm] bestimmen. Das habe ich gemacht und erhalte als charakteristisches Polynom zunächst: [mm](\lambda -(1-w))^3 + 3u^2w^2 (\lambda-(1-w))[/mm].
Und damit als ersten Eigenwert: [mm]\lambda_{1} = (\lambda - (1 - w))[/mm] und als zweiten und dritten Eigenwert [mm]\lambda_{2,3} = (1-w) \pm \wurzel{3} uw i[/mm]. (Ich hoffe, dass das stimmt).
Meine Frage ist jetzt erstmal ganz simpel: Der Spektralradius ist ja das Maximum der Beträge der Eigenwerte. Wie ist das aber hier, wo der zweite und dritte Eigenwert eine komplexe Zahl ist? Was vergleiche ich, um die Eigenwerte der Größe nach zu ordnen? Es schließt sich dann noch eine Frage an, aber das ist erstmal mein Hauptproblem.
Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Mo 01.11.2010 | | Autor: | steffenhst |
Hat sich erledigt. Zu früh gefragt, sorry!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mo 24.04.2017 | | Autor: | tynia |
Hallo, ich habe das gleiche Problem wie du. Kannst du mir sagen, wie du es gelöst hast? VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Di 25.04.2017 | | Autor: | fred97 |
Sind $ [mm] \lambda_1,...,\lambda_n$ [/mm] die (reellen oder komplexen) Eigenwerte einer Matrix, so ist der Spektralradius
$= [mm] \max\{|\lambda_1|,...,|\lambda_n|\}$.
[/mm]
Ist [mm] \lambda_j [/mm] komplex, so ist also $| [mm] \lambda_j|$ [/mm] der Betrag in [mm] \IC, [/mm] also falls
[mm] $\lambda_j=x_j+iy_i$ [/mm] mit [mm] $x_j,y_j \in \IR:
[/mm]
$| [mm] \lambda_j|= \wurzel{x_j^2+y_j^2}$.
[/mm]
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