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Ich habe mir mal paar Übungsaufgaben angeschaut wo es ums Beweisen geht. Es ist zwar eine Zusatzaufgabe, aber es interessiert mich trotzdem bei der Aufgabe.
Vielleicht kann mir jemand zeigen wie das funktioniert.
Sei f: [mm] \IR^n [/mm] --> [mm] \IR^n [/mm] eine differenzierbare Abbildung.
Existiert eine differenzierbare Abbildung g: [mm] \IR^n [/mm] --> [mm] \IR [/mm] mit den Eigenschaften:
a) g hat keine kritischen Punkte
b) (g o f)(x)=0, alle x sind in [mm] \IR^n
[/mm]
dann ist die Determinante der Jacobi-Matrix von f identisch Null.
Ich habe hier Schwierigkeiten die Bedingungen (mit denen man die Aufgabe ja sicher nur lösen kann) umzusetzen.
Ich habe mir bisher folgendes aufgeschrieben:
g(f(x)) := (g o f)(x)
und g(f(x)) = 0 für alle x [mm] R^n. [/mm]
Wie kann man das aber beweisen ??
Würde mich freuen! Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Prinzessin!
Hier hilft die Kettenregel:
$D(g [mm] \circ [/mm] f)(x)= Dg(f(x)) [mm] \cdot [/mm] Df(x)$.
Nach Voraussetzung gilt: $Rang(Dg(f(x))=1$. Hätte nun $Df(x)$ vollen Rang, also $Rang(Df(x))=n$, dann müsste auch $D(g [mm] \circ [/mm] f)(x)$ vollen Rang haben, also: $Rang(D(g [mm] \circ [/mm] f)(x))=1$.
Dies steht aber im Widerspruch zu $g [mm] \circ [/mm] f [mm] \equiv [/mm] 0$.
Viele Grüße
Julius
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Hallo Julius,
danke sehr!
Also kann man sozusagen diese Aufgabe mit einem Widerspruchsbeweis lösen. Und aus dem kann man folgern dass die Determinante f identisch 0 ist?
Schönen Tag noch!
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Hallo!
Du kannst das auch direkt beweisen:
Wegen [mm] $(g\circ [/mm] f)(x)=0$ für alle [mm] $x\in\IR^n$ [/mm] ist [mm] $D(g\circ [/mm] f)(x)=0$. Also gilt
$0= D(g [mm] \circ [/mm] f)(x)= Dg(f(x)) [mm] \cdot [/mm] Df(x) $.
Aber was steht denn da eigentlich? $Df(x)$ ist die Jacobimatrix von $f$. [mm] $Dg\big(f(x)\big)$ [/mm] ist der Gradient von $g$ an der Stelle $f(x)$. Da $g$ aber keine kritischen Punkte hat, ist [mm] $Dg(f(x))\ne [/mm] 0$. Aber [mm] $Dg(f(x))^T$ [/mm] liegt im Kern von [mm] $Df(x)^T$...
[/mm]
Gruß, banachella
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hallo banachella,
Meinst du mit "..." was bestimmtes, dass man da noch rechnen muss. Oder ist f identisch null, weil [mm] Dg(f(x))^T [/mm] im Kern von [mm] Df(x)^T [/mm] liegt?
danke!!
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Hallo!
Tatsächlich ist die Jacobi-Matrix deshalb nicht unbedingt 0. Aber du willst ja auch nur zeigen, dass die Determinante 0 ist...
Gruß, banachella
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