Jacobi-Matrix und Singulär < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung f mit [mm] f(x)=\vektor{e^{x_1^2 + x_2^2} - 3 \\ x_1 + x_2 - sin(3(x_1 + x_2))}. [/mm]
Man bestimme die Funktionalmatrix f'(x). Für welche x ist f'(x) singulär? |
Hi,
also den ersten Teil habe ich denke ich hinbekommen, komme dort auf:
[mm] J_f=f'(x)=\pmat{ 2x_1 e^{x_1^2 + x_2^2} & 2x_2 e^{x_1^2 + x_2^2} \\ 1 - 3 cos(3(x_1 + x_2)) & 1 - 3 cos(3(x_1 + x_2)) }
[/mm]
müsste doch so stimmen, oder??
So, singulär bedeutet ja, für welche x f'(x) nicht invertierbar ist. Aber wie berechnet man das? da komm ich gerade nicht weiter. Ich weiß nur, dass für Invertierbare Matrizen [mm] A*A^{-1}=E, [/mm] kommt man damit weiter??
Danke für Hilfe.
Gruß
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Hallo Steve,
> Gegeben sei die Abbildung f mit [mm]f(x)=\vektor{e^{x_1^2 + x_2^2} - 3 \\ x_1 + x_2 - sin(3(x_1 + x_2))}.[/mm]
>
> Man bestimme die Funktionalmatrix f'(x). Für welche x ist
> f'(x) singulär?
> Hi,
>
> also den ersten Teil habe ich denke ich hinbekommen, komme
> dort auf:
>
> [mm]J_f=f'(x)=\pmat{ 2x_1 e^{x_1^2 + x_2^2} & 2x_2 e^{x_1^2 + x_2^2} \\ 1 - 3 cos(3(x_1 + x_2)) & 1 - 3 cos(3(x_1 + x_2)) }[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> müsste doch so stimmen, oder??
Ja, das tut es!
>
> So, singulär bedeutet ja, für welche x f'(x) nicht
> invertierbar ist. Aber wie berechnet man das? da komm ich
> gerade nicht weiter. Ich weiß nur, dass für Invertierbare
> Matrizen [mm]A*A^{-1}=E,[/mm] kommt man damit weiter??
Besser über die Determinante: $J$ singulär [mm] $\gdw \operatorname{det}(J)=0$ [/mm] ...
Beachte auch, dass in Zeile 2 schon 2mal derselbe Ausdruck steht ...
>
> Danke für Hilfe.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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HI vielen dank.
Also bei der Det komme ich dann auf:
[mm] det(J_f)=2x_1 e^{x_1^2 + x_2^2}* [/mm] (1 - 3 [mm] cos(3(x_1 [/mm] + [mm] x_2))) [/mm] - [mm] 2x_2 e^{x_1^2 + x_2^2}*(1 [/mm] - 3 [mm] cos(3(x_1 [/mm] + [mm] x_2)))
[/mm]
= [mm] (x_1 [/mm] - [mm] x_2)*[2*(1 [/mm] - 3 [mm] cos(3(x_1 [/mm] + [mm] x_2))]
[/mm]
d.h. ist [mm] x_1=x_2, [/mm] dann ist die Det. von [mm] J_f [/mm] = 0 und somit f'(x) dann singulär, richtig?
Oder gibts da noch mehr Lösungen?
Gruß
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Hallo,
> HI vielen dank.
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> Also bei der Det komme ich dann auf:
>
> [mm]det(J_f)=2x_1 e^{x_1^2 + x_2^2}*[/mm] (1 - 3 [mm]cos(3(x_1[/mm] + [mm]x_2)))[/mm]
> - [mm]2x_2 e^{x_1^2 + x_2^2}*(1[/mm] - 3 [mm]cos(3(x_1[/mm] + [mm]x_2)))[/mm]
> = [mm](x_1[/mm] - [mm]x_2)*[2*(1[/mm] - 3 [mm]cos(3(x_1[/mm] + [mm]x_2))][/mm]
>
> d.h. ist [mm]x_1=x_2,[/mm] dann ist die Det. von [mm]J_f[/mm] = 0 und somit
> f'(x) dann singulär, richtig?
Genau!
> Oder gibts da noch mehr Lösungen?
Ja!
Was ist mit dem zweiten Faktor:
[mm] $1-3*\cos\Big(3*(x_1 [/mm] + [mm] x_2)\Big) [/mm] = 0$
?
Grüße,
Stefan
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Hi nochmal,
da wusste ich gerade nicht, wie man das rechnet.
> Was ist mit dem zweiten Faktor:
> $ [mm] 1-3\cdot{}\cos\Big(3\cdot{}(x_1 [/mm] + [mm] x_2)\Big) [/mm] = 0 $
d.h. wir haben ja [mm] \cos\Big(3\cdot{}(x_1 [/mm] + [mm] x_2)\Big)=\bruch{1}{3}
[/mm]
Wir wissen ja auch, dass die Nullstellen vom Kosiuns bei [mm] x_k=(2k+1)*\bruch{\pi}{2} [/mm] liegen, aber wie bringt mich das jetzt weiter?
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Hallo!
> Hi nochmal,
>
> da wusste ich gerade nicht, wie man das rechnet.
>
> > Was ist mit dem zweiten Faktor:
>
> > [mm]1-3\cdot{}\cos\Big(3\cdot{}(x_1 + x_2)\Big) = 0[/mm]
>
> d.h. wir haben ja [mm]\cos\Big(3\cdot{}(x_1[/mm] +
> [mm]x_2)\Big)=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Wir wissen ja auch, dass die Nullstellen vom Kosiuns bei
> [mm]x_k=(2k+1)*\bruch{\pi}{2}[/mm] liegen, aber wie bringt mich das
> jetzt weiter?
Gar nicht. Es reicht doch völlig, zu schreiben:
[mm] x_{1}+x_{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}*\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2*k*\pi\right),
[/mm]
also...
Aber aufpassen: der Cosinus wird zweimal [mm] \frac{1}{3} [/mm] im Intervall [mm] [-\pi,\pi], [/mm] oben steht also nur eine Lösung, die andere zu finden überlasse ich dir (beachte die Symmetrie des Cosinus).
Grüße,
Stefan
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Hi,
nochmal eine ganz dumme frage, wie kommst du von
> $ [mm] 1-3\cdot{}\cos\Big(3\cdot{}(x_1 [/mm] + [mm] x_2)\Big) [/mm] = 0 $
auf
> Gar nicht. Es reicht doch völlig, zu schreiben:
> $ [mm] x_{1}+x_{2} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\cdot{}k\cdot{}\pi\right), [/mm] $???
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Hallo!
> Hi,
>
> nochmal eine ganz dumme frage, wie kommst du von
>
> > [mm]1-3\cdot{}\cos\Big(3\cdot{}(x_1 + x_2)\Big) = 0[/mm]
>
> auf
>
> > Gar nicht. Es reicht doch völlig, zu schreiben:
>
> > [mm]x_{1}+x_{2}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\cdot{}k\cdot{}\pi\right), [/mm]???
Na:
[mm] $1-3\cdot{}\cos\Big(3\cdot{}(x_1 [/mm] + [mm] x_2)\Big) [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \cos\Big(3\cdot{}(x_1 [/mm] + [mm] x_2)\Big) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
Nun [mm] \arccos(...) [/mm] anwenden! ( [mm] \cos(...) [/mm] ist [mm] 2\pi [/mm] - periodisch!)
[mm] $\Rightarrow 3\cdot{}(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] = [mm] \arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2*k*\pi$
[/mm]
Aber wie gesagt: Das ist nur eine der beiden Lösungen!
[mm] $\Rightarrow x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}*\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2*k*\pi\right)$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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also sorry, irgendwie habe ich gerade ne blockade,
> [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right) [/mm]
ich muss doch rauskriegen, für welche werte die Det von [mm] J_f [/mm] 0 wird. Ich habe ja zuerst rausbekommen, dass einmal [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] gelten muss. Das war der Teil, der außen stand.
Dann blieb noch zu gucken, wann [mm] 1-3\cdot{}\cos\Big(3\cdot{}(x_1 [/mm] + [mm] x_2)\Big) [/mm] = 0 ist, so da bist du jetzt auf
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right) [/mm]
gekommen.
Aber kommt hier nicht auch wieder [mm] x_1=x_2 [/mm] raus oder sehe ich gerade was falsch??
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Hallo,
> also sorry, irgendwie habe ich gerade ne blockade,
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> > [mm]\Rightarrow x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] =
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right)[/mm]
>
> ich muss doch rauskriegen, für welche werte die Det von
> [mm]J_f[/mm] 0 wird. Ich habe ja zuerst rausbekommen, dass einmal
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] gelten muss. Das war der Teil, der außen stand.
>
> Dann blieb noch zu gucken, wann
> [mm]1-3\cdot{}\cos\Big(3\cdot{}(x_1[/mm] + [mm]x_2)\Big)[/mm] = 0 ist, so da
> bist du jetzt auf
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] =
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right)[/mm]
>
>
> gekommen.
>
> Aber kommt hier nicht auch wieder [mm]x_1=x_2[/mm] raus oder sehe
> ich gerade was falsch??
Ja. Wie kommst du darauf, dass hier wieder [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$ [/mm] gilt?
Wir haben doch eine Gleichung der Form
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = a$,
also
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] a-x_2$ [/mm] !
Zur allgemeinen Übersicht: Die Determinante bestand im Wesentlichen aus zwei Faktoren, die Null werden konnten. Aus dem einen Faktor konnten wir schließen, dass für [mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2$ [/mm] die Determinante Null wird. Nun ist noch die Frage, was wir aus dem zweiten Faktor schließen können. Dabei spielt das Ergebnis des ersten Faktors keine Rolle!
Grüße,
Stefan
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D.h. kann ich einfach dann sagen,
unsere zwei weiteren Lösungen sind dann
[mm] x_1=a-x_2 [/mm] und [mm] x_2=a-x_1, [/mm] wobei a= $ [mm] \frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right) [/mm] $
oder muss man den Term mit arccos auch noch ausrechnen?
gruß
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Hallo,
> D.h. kann ich einfach dann sagen,
>
> unsere zwei weiteren Lösungen sind dann
>
> [mm]x_1=a-x_2[/mm] und [mm]x_2=a-x_1,[/mm]
Das sind doch beides dieselben Lösungen! Natürlich wirst du [mm] x_2 [/mm] oder [mm] x_1 [/mm] frei wählen müssen, um alle darzustellen (falls das so detailliert gefordert ist).
wobei a=
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right)[/mm]
Ich meinte, dass dies hier nicht die einzige Lösung für "a" ist! Es gibt also noch ein [mm] a_2 [/mm] !
Das Problem liegt dabei, dass cos im Intervall [mm] [-\pi,\pi] [/mm] zweimal den Wert 1/3 annimmt.
Grüße,
Stefan
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Also was ich mich gerade noch frage ist, wenn du die Gleichung umgestellt hast auf
a= [mm] \frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right) [/mm]
Wieso betrachtest du dann noch die Lösungsmenge vom Kosinus? Muss man jetzt nicht die Lösungsmenge vom Arccos betrachten?
Und wenn ich das dann mal mit dem TR ausrechne, komme ich auf:
[mm] a\approx \frac{1}{3}(1,23 [/mm] + [mm] 2*k*\pi) [/mm] für k=0 also [mm] a\approx [/mm] 0,41 d.h. [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] müssten dann auch [mm] x_1=x_2=0,41 [/mm] sein.
Betrachte ich hingegen den cos(1/3)=0,94. Dann ja, dann bekommen wir zwei Werte, nämlich einmal +0,94 und dann -0,94. Also ist [mm] a\approx \pm [/mm] 0,31. Dementsprechend müssten dann auch bei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ein Vorzeichenwechsel eintreten.
Was sagst du dazu?
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Hallo,
> Also was ich mich gerade noch frage ist, wenn du die
> Gleichung umgestellt hast auf
>
> a=
> [mm]\frac{1}{3}\cdot{}\left(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)+2\cdot{}k\cdot{}\pi\right)[/mm]
>
> Wieso betrachtest du dann noch die Lösungsmenge vom
> Kosinus? Muss man jetzt nicht die Lösungsmenge vom Arccos
> betrachten?
Ich betrachte nicht die Lösungsmenge von Kosinus, sondern die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$
[/mm]
(jetzt mal stark vereinfacht). Diese Gleichung hat für x zwei Lösungen auf dem Intervall [mm] [-\pi,\pi].
[/mm]
(Schau dir das mal bitte im Taschenrechner an!)
Eine Lösung davon hat die Form [mm] \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\in[0,\pi]. [/mm] Damit der Kosinus überhaupt eine Umkehrabbildung haben kann, musste man ihn auf das Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] einschränken - dann ist er bijektiv. Wenn wir also arccos(1/3) berechnen, wird uns nur die Lösung im Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] geliefert, nicht aber die im Intervall [mm] [-\pi,0] [/mm] - diese muss noch berechnet werden!
Da der Kosinus aber gerade ist, wissen wir, dass die zweite Lösung die Form [mm] -\arccos(1/3) [/mm] hat (jetzt ist die Katze aus dem Sack!).
Im Intervall [mm] [-\pi,\pi] [/mm] hat die Gleichung [mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] also zwei Lösungen:
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] \arccos(1/3)$
[/mm]
[mm] $x_{2} [/mm] = [mm] -\arccos(1/3)$
[/mm]
Mit Hilfe der Periodizität des Kosinus können wir nun alle Lösungen angeben als:
[mm] $x_{1} [/mm] + [mm] 2*k*\pi$
[/mm]
[mm] $x_{2} [/mm] + [mm] 2*k*\pi$
[/mm]
[mm] $(k\in\IZ)$.
[/mm]
Ist das jetzt klarer?
Das ist Schulstoff aus der 10. Klasse 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mo 03.05.2010 | | Autor: | jaruleking |
Die 10 KL. ist leider schon sehr lange her .
aber hast recht, sowas muss einfach sitzen.
danke dir nochmal.
gruß
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